Se che parece que está mal, non es o único. Miles de persoas, algunhas cun doutoramento, negáronse a crelo ao principio. Aquí tes o enigma e, despois, varias formas de ver por que convén cambiar. Seguro que con algunha delas o ves claro.
Como funciona o problema de Monty Hall?
Estás nun concurso de televisión diante de tres portas pechadas. Detrás dunha hai un coche e detrás das outras dúas, unha cabra. Escolles unha porta. O presentador, que sabe onde está o coche, abre unha das outras dúas e ensínache unha cabra. Logo pregúntache se queres quedar coa túa porta ou cambiar á outra que segue pechada.
A maioría encolle os ombros e di que tanto ten. Quedan dúas portas, así que ten que ser ao 50 %. Pois non. Se cambias, gañas o coche 2 de cada 3 veces.
O enigma leva o nome de Monty Hall, o presentador do concurso de televisión Let's Make a Deal. A famosa resposta depende de tres regras.
- O presentador sempre abre unha porta que ti non escolliches.
- O presentador sempre ensina unha cabra, nunca o coche.
- O presentador sempre che ofrece cambiar.
Por que cambiar gaña 2 de cada 3 veces?
A túa primeira escolla falla 2 de cada 3 veces. Cada vez que falla, o presentador non ten opción. Ten que abrir a outra porta coa cabra, e o coche queda detrás da porta á que poderías cambiar. Así que cambiar gaña sempre que a túa primeira escolla era errada, e só perde cando acertaches co coche á primeira.
Exemplo
Supón que sempre escolles a porta 1. O coche só pode estar en tres sitios, e os tres son igual de probables.
- O coche está detrás da porta 1. O presentador abre a porta 2 ou a 3. Quedar gaña, cambiar perde.
- O coche está detrás da porta 2. O presentador ten que abrir a porta 3. Quedar perde, cambiar gaña.
- O coche está detrás da porta 3. O presentador ten que abrir a porta 2. Quedar perde, cambiar gaña.
Fai a conta. Quedar gaña unha vez e cambiar gaña dúas. E pasa o mesmo comeces pola porta que comeces.
Hai outra forma de imaxinalo. A túa porta empeza cunha probabilidade de 1 entre 3, e as outras dúas repártense os 2 entre 3 restantes. Cando o presentador abre unha delas, o coche non se move. Só che está a ensinar cal desas dúas portas ten agora todo ese 2 entre 3.
Por que non é ao 50 % se quedan dúas portas?
Porque o presentador non abre unha porta ao chou. Sabe onde está o coche e sempre o evita, así que a porta que deixa pechada escolleuna sabendo iso. A túa porta escolléchela ás cegas e conserva a súa probabilidade de 1 entre 3. A outra porta pechada lévase o resto, 2 entre 3.
Un artigo de Scientific American sobre o enigma atribúe o erro ao que os psicólogos chaman nesgo de equiprobabilidade. Tendemos a dar por feito que os resultados que temos diante son igual de probables. Dúas portas parecen un cara ou cruz, e deixamos de pensar.
A outra trampa é que o movemento do presentador parece non dicirche nada. En realidade diche moito. Sempre que a túa porta agocha unha cabra, o presentador está obrigado a deixar pechada a porta do coche. Esa escolla forzada é a información oculta.
É máis doado coa versión de 100 portas?
A moita xente axúdalle. Imaxina 100 portas e un só coche. Escolles unha e o presentador, que sabe onde está o coche, abre 98 das demais e ensina 98 cabras. Queda unha porta pechada. A túa porta tiña unha probabilidade de 1 entre 100. A porta que o presentador saltou con tanto coidado ten agora os outros 99 entre 100.
Exemplo
Escolles a porta 37. O presentador abre todas as portas da 1 á 100 menos a 37 e a 82. De verdade cres que a túa escolla ao chou foi a afortunada? É moito máis probable que saltase a 82 porque o coche está detrás.
Marilyn vos Savant, que fixo famoso o enigma, usou unha versión aínda maior, cun millón de portas. Con tres portas a idea é a mesma, só que custa máis sentila. Se as 100 portas non che axudan, proba a pensar en equivocarte. A túa primeira escolla falla 2 de cada 3 veces, e cambiar converte cada fallo nun premio.
Que pasa se o presentador non sabe onde está o coche?
Daquela cambiar deixa de axudar. Se o presentador abre unha porta ao chou e dá a casualidade de que sae unha cabra, quedar e cambiar gañan cada un a metade das veces. A resposta de 2 entre 3 só vale cando o presentador sabe onde está o coche, sempre abre unha porta cunha cabra e sempre ofrece cambiar.
Exemplo
Escolles a porta 1, e un presentador que non sabe nada abre ao chou a porta 2 ou a 3. Ás veces ensina o coche sen querer, e esas partidas estráganse. Nas partidas en que aparece unha cabra, o coche está detrás da túa porta exactamente a metade das veces.
O verdadeiro Monty Hall sinalou esa mesma pega. Nun artigo do New York Times de 1991 advertiu de que un concursante debería desconfiar se o presentador pode decidir se ofrece ou non o cambio. Nun concurso de verdade, a propia oferta podería ser unha trampa.
Como podes comprobar ti mesmo o problema de Monty Hall?
Só precisas tres cartas e un amigo. Un as é o coche e as outras dúas cartas son as cabras. O teu amigo barállaas boca abaixo, ti sinalas unha e o teu amigo dálle a volta a unha cabra que non escolliches. Xoga 30 roldas cambiando sempre. Deberías gañar unhas 20.
Despois xoga outras 30 roldas sen cambiar nunca. Esta vez deberías gañar unhas 10. Con tan poucas roldas os números bailarán un pouco, pero a diferenza nótase axiña.
Ata matemáticos famosos precisaron velo. Scientific American conta que o prolífico matemático Paul Erdős tamén caeu co enigma. Así que, se aínda che parece que está mal, saca as cartas.
O que de verdade adestra este enigma é contar todos os casos posibles sen deixar ningún fóra. O xogo de probabilidade fai o mesmo tipo de pregunta en cada rolda. No combate de embaixo, por exemplo, hai que contar de cantas maneiras poden saír 4 moedas con exactamente 1 cara. A resposta é 4, porque a cara pode estar en calquera das catro moedas.
Por que tanta xente falla co problema de Monty Hall?
Dúas portas pechadas parecen, sen máis, unha escolla ao 50 %, e é doado pasar por alto o que sabe o presentador. Seguramente tamén inflúe o arrepentimento. Perder despois de deixar escapar o coche por cambiar doe máis que perder por quedar, así que moita xente fica coa súa primeira porta aínda que entenda as matemáticas.
O enigma apareceu por primeira vez en 1975, nunhas cartas do estatístico Steve Selvin. Fíxose famoso en 1990, cando Marilyn vos Savant o respondeu na súa columna Ask Marilyn da revista Parade e lles dixo aos lectores que cambiasen. Segundo Scientific American, recibiu unhas 10.000 cartas que lle dicían que se equivocaba. The New York Times engadiu que case 1.000 ían asinadas por persoas con doutoramento.
Por suposto, tiña razón. Esas cartas xa forman parte da historia, e son o mellor recordatorio de que unha corazonada moi segura sobre o azar pode estar totalmente errada.
Cambia, sempre que o presentador o saiba e abra sempre unha porta cunha cabra
Coas regras habituais, cambiar duplica a túa probabilidade de gañar, de 1 entre 3 a 2 entre 3. Se cambian as regras, a resposta tamén pode cambiar, por exemplo cun presentador que abre portas ao chou ou que só ofrece o cambio cando lle convén. Esa é a lección que vai máis alá dos concursos. Antes de fiarte dunha probabilidade, pregúntate como se escolleu a información que tes diante.
Adestra estas a continuación