Xerarquía das operacións: PEMDAS, BODMAS e a regra que hai detrás

Como se aplica a xerarquía das operacións paso a paso?

Coa xerarquía das operacións (PEMDAS en inglés), un cálculo resólvese en catro pasadas. Primeiro o que está dentro das parénteses, despois as potencias, logo multiplicacións e divisións de esquerda a dereita e, ao final, sumas e restas, tamén de esquerda a dereita. Volve escribir a liña enteira despois de cada pasada, así calquera erro vese axiña.

Exemplo

Calcula 3 + 4 × (6 − 2)² ÷ 8.

1. Parénteses: 6 − 2 = 4, e queda 3 + 4 × 4² ÷ 8
2. Potencias: 4² = 16, e queda 3 + 4 × 16 ÷ 8
3. Multiplicación e división, de esquerda a dereita: 4 × 16 = 64, logo 64 ÷ 8 = 8, e queda 3 + 8
4. Suma e resta: 3 + 8 = 11

Copiar a liña outra vez parece lento. Aínda así, é a mellor protección contra os erros. Un fallo típico é sumar o 3 e o 4 ao principio. Iso dá 7, e o resultado final sae mal.

En PEMDAS a multiplicación vai antes ca a división?

Non. A multiplicación e a división están no mesmo nivel, igual ca a suma e a resta. Dentro de cada parella vaise simplemente de esquerda a dereita. PEMDAS pon a M antes ca a D só porque unha palabra ten que colocar as súas letras nalgunha orde. Tomar as letras como unha clasificación estrita é un dos erros máis frecuentes coa xerarquía das operacións.

Exemplo

Calcula 24 ÷ 4 × 2.

1. Desde a esquerda, primeiro vén a división: 24 ÷ 4 = 6
2. Despois, a multiplicación: 6 × 2 = 12

Se multiplicas primeiro, sáeche 24 ÷ 8 = 3, que está mal. Coa suma e a resta pasa o mesmo. En 10 − 4 + 3, de esquerda a dereita dá 6 + 3 = 9. Se sumas primeiro, dá 10 − 7 = 3, que tamén está mal.

O libro de texto gratuíto OpenStax Prealgebra 2e dio sen rodeos. A multiplicación e a división fanse en orde de esquerda a dereita, porque teñen a mesma prioridade. Moitos adultos non lembran ese detalle da escola, e está detrás de moitas discusións sobre adiviñas matemáticas en internet.

Que diferenza hai entre PEMDAS, BODMAS e BIDMAS?

Nas regras non hai ningunha diferenza, só nas palabras. PEMDAS comeza pola P de parentheses (parénteses), mentres que BODMAS e BIDMAS comezan pola B de brackets, que tamén son parénteses. A E (exponents), a O (orders) e a I (indices) significan o mesmo: potencias e raíces. Todas as versións poñen a multiplicación e a división nun nivel, e a suma e a resta no seguinte.

Exemplo

Calcula 2 + 3 × 4² pensando en cada versión.

1. Primeiro as potencias: 4² = 16
2. Despois a multiplicación: 3 × 16 = 48
3. E logo a suma: 2 + 48 = 50

BODMAS escribe a D antes ca a M, e PEMDAS escribe a M antes ca a D. As dúas dan 50 aquí, e dan o mesmo resultado en calquera cálculo. Se a orde das letras segue liando, pode axudar escribir a regra como catro niveis en vez de seis letras: parénteses, potencias, multiplicar ou dividir, sumar ou restar.

Por que necesitamos unha xerarquía das operacións?

Sen unha orde acordada, unha liña como 2 + 3 × 4 podería significar dúas cousas distintas. Se sumas primeiro, sae 20. Se multiplicas primeiro, sae 14. O convenio di que a multiplicación vai antes, así que o resultado é 14. A graza da regra é simplemente que todo o que lea o mesmo cálculo obteña o mesmo resultado.

Exemplo

Unha amiga compra 3 cadernos a 4 moedas cada un e un bolígrafo por 2 moedas. O total é 2 + 3 × 4 = 2 + 12 = 14 moedas. Sumar primeiro daría 5 × 4 = 20, como se mercase o bolígrafo catro veces.

O convenio é moito máis antigo ca as siglas. Segundo MacTutor, o arquivo de historia das matemáticas da Universidade de St Andrews, facer a multiplicación antes ca a suma e a resta xa era a norma nos primeiros libros de álxebra simbólica, no século XVI. A mesma páxina cita un historiador que escribía a finais da década de 1920 que aínda non había acordo sobre se debía ir primeiro ÷ ou ×.

Canto dá 8 ÷ 2(2 + 2)?

Se segues a xerarquía das operacións tal como se ensina, 8 ÷ 2(2 + 2) dá 16. A paréntese vai primeiro e dá 4. O 2 escrito xunto á paréntese indica unha multiplicación, e a división e a multiplicación van de esquerda a dereita, así que 8 ÷ 2 × 4 = 4 × 4 = 16. Na aula a división adoita escribirse con dous puntos (8 : 2), pero a regra é a mesma.

Exemplo

Aquí tes as dúas lecturas, unha ao lado da outra.

1. De esquerda a dereita: 8 ÷ 2 × 4 = 4 × 4 = 16
2. Con 2(2 + 2) como un só bloque: 8 ÷ (2 × 4) = 8 ÷ 8 = 1

O verdadeiro problema é como está escrito o cálculo. Unha nota na web do departamento de matemáticas de Berkeley sinala que non hai un convenio estándar para expresións así, porque escribir un número pegado a unha paréntese suxire que os dous van xuntos. Os matemáticos evitan toda a discusión con parénteses de máis: (8 ÷ 2)(2 + 2) ou 8 ÷ (2(2 + 2)).

A liña de fracción agrupa da mesma maneira. Se 6 + 4 está escrito enriba da liña de fracción e 2 debaixo, primeiro súmase, así que o resultado é 10 ÷ 2 = 5.

Cales son os erros máis comúns coa xerarquía das operacións?

A maioría dos erros veñen de ler as siglas como seis pasos separados nunha orde fixa. Iso leva a multiplicar antes de dividir ou a sumar antes de restar. Outros fallos son esquecer que a liña de fracción agrupa o que hai enriba e debaixo, e elevar ao cadrado un número negativo sen as súas parénteses. Reescribir a liña despois de cada paso detecta case todos.

Os fallos que se repiten unha e outra vez

• Multiplicar antes de dividir. En 24 ÷ 4 × 2, vai de esquerda a dereita: 6 × 2 = 12.
• Sumar antes de restar. En 10 − 4 + 3, vai de esquerda a dereita: 6 + 3 = 9.
• Elevar ao cadrado un número negativo. −3² significa −(3²) = −9, pero (−3)² = 9. A paréntese decide se o signo menos se eleva ao cadrado.
• Comezar polo corchete de fóra. En 2 × [5 + (3 − 1)²], empeza por dentro: 3 − 1 = 2, logo 2² = 4, logo 5 + 4 = 9 e, por último, 2 × 9 = 18.
• Pasar por alto a liña de fracción. Calcula primeiro o de arriba e o de abaixo por separado, e despois divide.

Como se pode practicar a xerarquía das operacións?

A mellor forma de practicar esta regra son cálculos curtos e frecuentes. No xogo de xerarquía das operacións, cada ataque é unha operación combinada como (5 + 3) × 7. Resolves a paréntese, multiplicas e escribes 56 para lanzar o ataque.

As potencias frean a moita xente, sobre todo con números negativos. Se é aí onde te atrancas, proba antes o xogo de potencias. Despois, os cálculos máis longos con potencias resólvense con máis soltura.

O nome da regra depende de onde a aprendas. Nos Estados Unidos é PEMDAS, e no Reino Unido, BODMAS ou BIDMAS. Outras linguas usan as súas propias fórmulas curtas, pero a regra de fondo é a mesma en todas partes. Nas escolas galegas falamos de xerarquía das operacións.

Unha regra compartida para que todos cheguemos ao mesmo resultado

A xerarquía das operacións é un acordo, non unha lei da natureza, e só funciona porque todos usamos a mesma. Primeiro as parénteses, despois as potencias, logo multiplicacións e divisións de esquerda a dereita e, por último, sumas e restas de esquerda a dereita. Cando un cálculo aínda se poida ler de dúas maneiras, engade parénteses e acabouse a discusión.