Ecuación punto-pendente, que é e cando usala no canto de y = mx + n

Como se escribe a ecuación punto-pendente dunha recta?

Pon a pendente no lugar de m e as coordenadas dun punto que coñezas no lugar de x₁ e y₁. Deixa x e y como letras. Representan todos os demais puntos da recta. Usa a ecuación punto-pendente cando coñeces un punto da recta e a súa pendente.

Exemplo

Escribe a recta que pasa por (2, 3) e ten pendente 2.

1. O punto dá x₁ = 2 e y₁ = 3.
2. A pendente dá m = 2.
3. Substitúe: y − 3 = 2(x − 2).

Xa está, non hai nada que simplificar. Se queres asegurarte, comproba un segundo punto. Desde (2, 3), un paso á dereita e dous cara arriba lévante a (3, 5). Substitúe eses números: á esquerda, 5 − 3 = 2, e á dereita, 2(3 − 2) = 2. Coinciden.

Fíxate en que (2, 3) aparece dentro da propia ecuación. Ao debuxar a recta, podes pór o lapis primeiro nese punto e seguir desde aí.

Como se acha a ecuación punto-pendente a partir de dous puntos?

Calcula primeiro a pendente con m = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁). Despois colle calquera dos dous puntos e substitúeo en y − y₁ = m(x − x₁) xunto con esa pendente. Tanto ten que punto escollas. As ecuacións parecen distintas, pero ao simplificalas as dúas describen a mesma recta.

Exemplo

Acha a recta que pasa por (1, −2) e (4, 7).

1. Pendente: m = (7 − (−2)) : (4 − 1) = 9 : 3 = 3
2. Con (1, −2): y − (−2) = 3(x − 1), é dicir, y + 2 = 3(x − 1)
3. Con (4, 7): y − 7 = 3(x − 4)

Se desenvolves calquera das dúas, obtés y = 3x − 5. Convén sabelo antes de corrixir os deberes co solucionario. Se un alumno usou (4, 7) e o solucionario usou (1, −2), verás dúas ecuacións distintas, e ningunha está mal.

Por que un punto negativo cambia os signos?

A fórmula resta as coordenadas do punto. Se unha coordenada é negativa, acabas restando un número negativo, e iso convértese nunha suma. Así, o punto (−4, −1) dá y + 1 e x + 4. Escribir as parénteses completas antes de simplificar é a forma máis sinxela de que non se che escape un signo cambiado.

Exemplo

Escribe a recta que pasa por (−4, −1) e ten pendente 1/2.

1. Con parénteses: y − (−1) = 1/2(x − (−4))
2. Simplificada: y + 1 = 1/2(x + 4)

Tamén funciona ao revés. Se che dan y + 5 = −2(x − 6), o punto da recta é (6, −5), non (6, 5). Sexa cal sexa o signo que ves dentro da ecuación, a coordenada ten o contrario.

Como se pasa da ecuación punto-pendente á explícita?

Desenvolve a paréntese e pasa o número do lado esquerdo ao outro lado para que a y quede soa. O que obtés é a ecuación explícita, y = mx + n. A pendente non cambia ao facer o paso, e o número que queda só ao final é a ordenada na orixe, o punto onde a recta corta o eixe y.

Exemplo

Pasa y − 3 = 2(x − 2) a forma explícita.

1. Desenvolve a paréntese: y − 3 = 2x − 4
2. Suma 3 aos dous lados: y = 2x − 1

A pendente segue a ser 2, e a recta corta o eixe y en (0, −1). Podes ver ese punto na gráfica de arriba. Facelo ao revés é igual de rápido. Colle y = −3x + 5, escolle x = 1 e obtés y = 2. O punto (1, 2) e a pendente −3 dan y − 2 = −3(x − 1).

Que forma convén usar?

Usa a forma que encaixe cos datos que xa tes.

• A ecuación punto-pendente, cando tes un punto e a pendente, ou dous puntos.
• A ecuación explícita, cando queres ler a pendente e a ordenada na orixe ou debuxar a gráfica.
• A ecuación xeral, Ax + By + C = 0, cando necesitas os puntos onde a recta corta os dous eixes.

Moitos profesores queren a resposta final na forma y = mx + n. Nada che impide comezar coa ecuación punto-pendente e pasala a explícita ao final.

De onde sae a fórmula punto-pendente?

É a fórmula da pendente, reordenada. Escolle un punto fixo (x₁, y₁) dunha recta e calquera outro punto (x, y) da mesma recta. A pendente entre eles é m = (y − y₁) : (x − x₁). Multiplica os dous lados por (x − x₁) e tes y − y₁ = m(x − x₁).

Exemplo

Sigamos coa recta que pasa por (2, 3) con pendente 2 e comprobemos o punto (5, 9). A pendente de (2, 3) a (5, 9) é (9 − 3) : (5 − 2) = 6 : 3 = 2. É a mesma pendente, así que (5, 9) está na recta. A ecuación punto-pendente di exactamente iso: 9 − 3 = 2(5 − 2).

O libro de texto gratuíto OpenStax Elementary Algebra 2e deduce a fórmula da mesma maneira. Despois úsaa para rectas que pasan por dous puntos e para rectas paralelas e perpendiculares, que é xusto o que veremos no seguinte apartado.

Como se usa a ecuación punto-pendente con rectas paralelas e perpendiculares?

Unha recta paralela ten a mesma pendente ca a orixinal. Unha recta perpendicular ten a pendente inversa e oposta, así que lle dás a volta á fracción e lle cambias o signo. Unha pendente de 2 pasa a ser −1/2, e unha pendente de −3/4 pasa a ser 4/3. Cando teñas a nova pendente, ponla na ecuación punto-pendente co punto que che dan.

Exemplo

Acha a recta que pasa por (2, 3) e é perpendicular a y = 2x − 1.

1. A pendente orixinal é 2, ou sexa, 2/1.
2. Dálle a volta e cámbialle o signo: −1/2.
3. Ecuación punto-pendente: y − 3 = −1/2(x − 2)
4. Ecuación explícita: y = −1/2x + 4

Comprobación rápida con x = 2: −1/2 · 2 + 4 = 3, que é o valor de y do noso punto. Para unha paralela que pase por (6, 0), mantén a pendente 2: y − 0 = 2(x − 6), é dicir, y = 2x − 12.

Pódese escribir calquera recta en forma punto-pendente?

Case todas. A excepción é a recta vertical. Todos os seus puntos teñen o mesmo valor de x, así que o avance horizontal é 0, e calcular a pendente suporía dividir entre cero. Por iso unha recta vertical que pasa por (3, 1) escríbese x = 3. As rectas horizontais non dan ningún problema, porque a súa pendente é simplemente 0.

Exemplo

Colle a recta horizontal que pasa por (1, 4). En forma punto-pendente queda y − 4 = 0(x − 1). Cero por calquera número dá cero, así que a ecuación redúcese a y − 4 = 0, é dicir, y = 4.

Como se pode practicar a ecuación punto-pendente?

A soltura coas rectas chega vendo moitas. No xogo de funcións lineais loitas respondendo preguntas sobre rectas. Unha rolda pode pedirche a pendente de (−2, 2) a (0, −6), e se acertas, o teu ataque dá no albo. Esa sae (−6 − 2) : (0 − (−2)) = −8 : 2 = −4.

Pasar dunha forma á outra é cada vez unha pequena ecuación. Se é aí onde te atascas, unhas cantas roldas do xogo de ecuacións axudarante. Usarás os mesmos pasos cada vez que despexes algo nunha fórmula.

A letra da pendente tamén cambia dun país a outro. En Galicia úsase m, como en inglés, pero noutros países verás k ou a. Sexa cal sexa a letra, o número diante da paréntese é a pendente, e os números de dentro da paréntese saen dun punto da recta.

Un punto e unha pendente fixan a recta

Un só punto e unha pendente determinan por completo unha recta, e a ecuación punto-pendente escríbeo directamente. Substitúe con coidado, mantén as parénteses ata ter claros os signos e comproba o resultado cun segundo punto. Despois, para chegar a y = mx + n só che faltan dous pasos curtos.