Ecuación explícita da recta (y = mx + n) explicada paso a paso

Por que a ecuación explícita é tan útil

Cando unha ecuación está escrita desta forma, podes ler directamente a pendente e o punto de partida e debuxar a recta en poucos segundos. A continuación verás como lela, como obtela a partir de dous puntos ou doutra forma da ecuación, e os erros que máis se repiten.

Como se acha a ecuación explícita dunha recta?

Para achar a ecuación explícita necesitas dous datos, a pendente m e a ordenada na orixe n. A pendente obtense a partir de dous puntos con m = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁). Despois substitúes un punto e a pendente en y = mx + n e despexas n. Escribe o resultado cos teus números no canto de m e n.

Exemplo

Acha a recta que pasa polos puntos (1, 5) e (3, 9).

1. Pendente: m = (9 − 5) : (3 − 1) = 4 : 2 = 2
2. Usa o punto (1, 5): 5 = 2 · 1 + n, así que n = 3
3. Ecuación: y = 2x + 3
4. Compróbao co outro punto (3, 9): 2 · 3 + 3 = 9. Funciona.

Esta comprobación final leva dez segundos e detecta a maioría dos erros, así que paga a pena convertela nun hábito.

E se a pendente é unha fracción?

Aquí as fraccións son totalmente normais, e que saia unha fracción non significa que te equivocases. Colle os puntos (4, 0) e (−2, 4). A pendente é (4 − 0) : (−2 − 4) = 4 : (−6) = −2/3. Entón 0 = −2/3 · 4 + n dá n = 8/3, polo que y = −2/3x + 8/3. Compróbao con (−2, 4): 4/3 + 8/3 = 12/3 = 4.

Deixa a pendente en forma de fracción en vez de arredondala a un decimal, porque a fracción é exacta e a comprobación sairá perfecta. Se as fraccións son o que te frea, unhas cantas roldas do xogo de fraccións axudarante a atopar fraccións equivalentes e a simplificar moito máis rápido.

Na rolda de arriba, 7/10 = 70/100, porque o numerador e o denominador se multiplican os dous por 10.

Que significan m e n en y = mx + n?

En y = mx + n, m é a pendente e n é a ordenada na orixe. A pendente indica canto cambia y cando x aumenta 1, é dicir, canto sobe a recta por cada unidade que avanza. A ordenada na orixe é o valor de y cando x = 0, que corresponde ao punto (0, n) do eixo y.

Exemplo

En y = 3x − 2, a pendente é 3 e a ordenada na orixe é −2. A recta corta o eixo y en (0, −2), e cada paso de 1 cara á dereita fáia subir 3. En y = −2x + 4, a pendente é −2, de xeito que a recta baixa 2 por cada paso cara á dereita, e corta o eixo y en (0, 4).

O libro de texto OpenStax College Algebra 2e (en inglés) describe a pendente como «o que sobe entre o que avanza» e a ordenada na orixe como o punto onde o valor de entrada é cero. Unha pendente positiva sobe de esquerda a dereita, unha negativa baixa, e canto maior é o número (sen ter en conta o signo), máis inclinada é a recta.

Unha forma cotiá de imaxinar m e n

Unha vela mide 20 cm de alto e consúmese 2 cm cada hora. A súa altura despois de t horas é h = −2t + 20. O 20 é o punto de partida (n) e o −2 é canto cambia cada hora (m). Ao cabo de 3 horas mide 14 cm, e ao cabo de 10 horas consúmese de todo. A moitos estudantes resúltalles máis doado pensar en n como o valor inicial e en m como o cambio en cada paso.

Como se representa unha recta en forma explícita?

Para representar y = mx + n, comeza pola ordenada na orixe, o punto (0, n) do eixo y. Desde aí, usa a pendente como «o que sobe entre o que avanza». Desprázate cara á dereita o que avanza e cara arriba o que sobe (ou cara abaixo se a pendente é negativa) para atopar un segundo punto. Traza unha recta polos dous puntos e prolóngaa.

Exemplo

Representa y = 2x + 1.

1. Marca a ordenada na orixe (0, 1).
2. A pendente 2 equivale a 2/1, así que avanza 1 cara á dereita e sobe 2. Chegas a (1, 3).
3. Traza a recta que pasa por (0, 1) e (1, 3).

Cunha pendente como −2/3, avanza 3 cara á dereita e baixa 2. Se usas o denominador como avance, sempre caes en puntos da cuadrícula e é máis fácil debuxar a recta con precisión.

Como se pasa da ecuación xeral á explícita?

Para pasar unha ecuación como Ax + By = C a forma explícita, despexa a y. Pasa o termo en x ao outro lado e divide cada termo entre o número que acompaña a y. O número que acompaña a x é agora a pendente, e o número que queda só é a ordenada na orixe.

Exemplo

Transforma 2x + 3y = 6.

1. Resta 2x nos dous membros: 3y = −2x + 6
2. Divide cada termo entre 3: y = −2/3x + 2

A pendente é −2/3 e a ordenada na orixe é 2. Un erro frecuente é ler a pendente como 2 directamente en 2x + 3y = 6. Os números só indican a pendente e a ordenada na orixe cando a y está soa nun membro.

Ecuación punto-pendente ou ecuación explícita?

A ecuación punto-pendente, y − y₁ = m(x − x₁), é práctica cando coñeces un punto e a pendente, porque a podes escribir axiña. Para o punto (1, 5) e a pendente 2 obtés y − 5 = 2(x − 1). Desenvolve e simplifica, y = 2x − 2 + 5, e volves ter y = 2x + 3. As dúas formas describen a mesma recta.

Que rectas non se poden escribir en forma explícita?

As rectas verticais non se poden escribir en forma explícita. Todos os puntos dunha recta vertical teñen a mesma x, de xeito que o avance é 0 e calcular a pendente suporía dividir entre cero. Por iso a pendente dunha recta vertical non está definida. A recta vertical que pasa por x = 3 escríbese simplemente x = 3.

Exemplo

Os puntos (3, 1) e (3, 6) están nunha recta vertical. A pendente sería (6 − 1) : (3 − 3) = 5 : 0, que non ten resultado. Polo tanto, a recta é x = 3. Ademais, unha recta vertical nunca corta o eixo y, agás que sexa o propio eixo y, así que non ten ordenada na orixe que pôr no canto de n.

As rectas horizontais non dan problemas. Os puntos (−1, 4) e (5, 4) dan unha pendente de 0 : 6 = 0, polo que a recta é y = 0x + 4, que é simplemente y = 4.

Cales son os erros máis habituais coa ecuación explícita?

A maioría dos erros coa ecuación explícita son pequenos despistes, non problemas de comprensión. Intercámbianse as coordenadas dun punto, réstase en distinta orde arriba e abaixo na fórmula da pendente, ou léense m e n antes de despexar a y. Comprobar a ecuación final cun dos puntos de partida detéctaos case todos.

Solucións rápidas para cada despiste

Estes son os despistes que aparecen unha e outra vez, cunha solución rápida para cada un.

• Confundir x e y nun punto. (5, 7) significa x = 5 e y = 7. Ao lelo, pensa «primeiro en horizontal, logo en vertical».
• Cambiar a orde da resta. Se arriba fas 9 − 5, abaixo fai 3 − 1, co mesmo punto en primeiro lugar as dúas veces.
• Confundir m e n. En y = 4 + 3x a pendente segue a ser 3, porque m é o número que acompaña a x, estea onde estea.
• Perder un signo menos. En y = −x + 2 a pendente é −1, non 1.
• Pensar que unha fracción ten que estar mal. Pendentes como 3/4 ou −2/3 son tan válidas como 2.

Practicar a ecuación explícita ata que saía soa

Ler rectas con rapidez conséguese vendo moitas. No xogo de funcións lineais, cada ataque é unha pregunta sobre unha recta, así que practicas moito a recoñecer pendentes e ordenadas na orixe sen que pareza que fas deberes.

Despexar n tamén é só unha pequena ecuación dun paso. Se é nese paso onde te atrancas, o xogo de ecuacións é un bo quecemento.

As letras cambian segundo o país. En Galicia e no resto de España escríbese y = mx + n, mentres que nos Estados Unidos e noutros países de fala inglesa se escribe y = mx + b, en Francia e Polonia y = ax + b, en Rusia y = kx + b e en Italia y = mx + q. Sexan cales sexan as letras, o número que acompaña a x é sempre a pendente e o número que vai só indica onde corta a recta o eixo y.

Dous números describen calquera recta que non sexa vertical

Calquera recta que non sexa vertical pódese escribir como y = mx + n, así que abondan dous números para describila por completo. A pendente di canto se inclina e cara a onde, e a ordenada na orixe di onde comeza. Acha eses dous números, comproba a ecuación cun punto e o demais vén só.