Como se calcula a desviación estándar paso a paso?
Para calcular a desviación estándar, acha a media, réstaa de cada valor, eleva ao cadrado cada diferenza e suma os cadrados. Divide ese total entre o número de valores, e así obtés a varianza. Por último, calcula a raíz cadrada da varianza. O resultado é a desviación estándar, de novo nas unidades orixinais dos datos.
Exemplo
Dous equipos de 8 xogadores responden o mesmo cuestionario de 10 preguntas. Colle o equipo B, que ten as puntuacións 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7 e 9.
- Acha a media. 2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9 = 40, e 40 : 8 = 5
- Resta a media de cada valor. Isto dá −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2, 4
- Eleva ao cadrado cada diferenza. Isto dá 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16
- Suma os cadrados. 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32
- Divide entre o número de valores. 32 : 8 = 4, que é a varianza
- Calcula a raíz cadrada. √4 = 2, así que a desviación estándar é 2
O mesmo cálculo, valor a valor, axuda a non perder o fío.
- 2 − 5 = −3, e (−3)² = 9
- 4 − 5 = −1, e (−1)² = 1, tres veces
- 5 − 5 = 0, e 0² = 0, dúas veces
- 7 − 5 = 2, e 2² = 4
- 9 − 5 = 4, e 4² = 16
Fíxate en que as propias diferenzas, −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2 e 4, suman 0. Isto pasa sempre, e explica por que se elevan ao cadrado, como mostra o seguinte apartado. O último paso necesita unha raíz cadrada, e unhas cantas roldas de raíces cadradas fan moito máis rápido estimalas mentalmente.
Cal é a fórmula da desviación estándar?
A desviación estándar poboacional é σ = √(Σ(x − μ)² : N). Aquí x é cada valor, μ é a media, N é o número de valores e Σ significa «sumalos todos». Para unha mostra tomada dun grupo máis grande, divide entre n − 1 en lugar de N. Esa versión escríbese s.
Exemplo
Se o equipo B é todo o grupo que che interesa, usa N. A varianza é 32 : 8 = 4, e σ = √4 = 2.
Se os 8 xogadores son unha mostra escollida para representar todo un colexio, usa n − 1. A varianza é 32 : 7 ≈ 4,57, e s = √4,57 ≈ 2,14.
Por que se divide entre n − 1 nunha mostra?
Unha mostra adoita deixar fóra algúns dos valores máis extremos do grupo completo, así que a súa dispersión tende a saír un pouco pequena. Dividir entre n − 1, un número algo menor, fai que o resultado sexa un pouco maior e corríxeo. Con mostras grandes, a diferenza entre as dúas versións faise mínima.
As calculadoras e as follas de cálculo adoitan ofrecer as dúas versións. Un botón ou unha función marcados con σ ou «poboación» dividen entre N, e un marcado con s ou «mostra» divide entre n − 1. Comproba cal espera o teu profesor ou o teu libro de texto, porque as dúas son correctas na súa propia situación.
Por que se elevan ao cadrado as diferenzas na desviación estándar?
As diferenzas respecto da media sempre suman cero, porque os valores por riba da media compensan os que están por debaixo. Elevar ao cadrado fai que todas as diferenzas sexan positivas, así que xa non se anulan. A raíz cadrada do final devolve o resultado ás unidades orixinais, de xeito que unha dispersión en puntos se mide en puntos.
Exemplo
No equipo B, as diferenzas eran −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2 e 4. O seu total é 0, así que a súa media simple tamén é 0, o que non di nada sobre a dispersión. Ao elevalas ao cadrado, quedan 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4 e 16, que suman 32.
Elevar ao cadrado tamén lles dá máis peso aos valores afastados. O NIST Engineering Statistics Handbook ilústrao con claridade. Un punto a 2 unidades da media suma 4 ao total, mentres que un punto a 10 unidades suma 100. Isto fai que a desviación estándar sexa sensible a un só valor extremo, como unha puntuación de 0 nun grupo que polo demáis sacou boas notas.
Hai unha medida máis sinxela que se salta o cadrado. A desviación media toma a distancia de cada valor á media, ignora os signos menos e calcula a súa media. No equipo B, as distancias 3, 1, 1, 1, 0, 0, 2 e 4 suman 12, e 12 : 8 = 1,5. É máis fácil de calcular a man, pero a desviación estándar é a medida na que se basean a maioría das ferramentas e fórmulas estatísticas.
Que é unha desviación estándar alta ou baixa?
Non hai un único número que conte como desviación estándar alta ou baixa. Depende do tamaño dos valores e do que miden. Unha desviación estándar de 2 puntos é grande para puntuacións sobre 10, pero diminuta para puntuacións sobre 1000. Compáraa coa media e co rango de valores posibles.
Exemplo
Agora compara o equipo B co equipo A do mesmo cuestionario.
- Equipo A: 3, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 7
- Equipo B: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9
Os dous equipos teñen unha media de 5, porque cada lista suma 40 e 40 : 8 = 5. Pero as puntuacións do equipo A agrúpanse arredor do 5, mentres que as do equipo B están espalladas do 2 ao 9. A desviación estándar do equipo A é de 1 punto, e a do equipo B é de 2 puntos.
Só coa media, estes equipos parecerían idénticos. A desviación estándar mostra que o equipo A é moi regular, mentres que o equipo B ten algúns xogadores moi por diante e outros moi por detrás.
Outro exemplo
Dúas panaderías venden pans cun peso medio de 500 g. Na primeira, a desviación estándar é de 5 g, así que case todos os pans pesan preto de 500 g. Na segunda, é de 40 g, así que algúns pans son claramente máis lixeiros e outros máis pesados. As medias coinciden, pero a primeira panadería é moito máis regular.
Unha desviación estándar baixa non sempre é mellor. Nunha aula, unha desviación estándar alta nos resultados dun exame pode mostrar simplemente que os nenos están en etapas moi distintas, algo útil para un docente. Nunha fábrica, unha desviación estándar baixa adoita significar que as máquinas son fiables. O número describe a dispersión, e o contexto decide se esa dispersión é unha boa noticia.
Unha desviación estándar nunca pode ser negativa, porque sae da raíz cadrada de números elevados ao cadrado. Só é 0 cando todos os valores son iguais.
Que significa a regra 68-95-99,7?
En datos que seguen unha distribución normal, a coñecida campa de Gauss, arredor do 68 % dos valores está a menos dunha desviación estándar da media. Arredor do 95 % está a menos de dúas desviacións estándar, e arredor do 99,7 % a menos de tres. Chámase regra empírica, e converte unha desviación estándar nunha imaxe rápida dos datos.
Exemplo
Supón que os tempos dunha carreira de 1 km nun grupo grande seguen unha campa de Gauss cunha media de 6 minutos e unha desviación estándar de 1 minuto. Entón, arredor do 68 % dos corredores remata entre 5 e 7 minutos. Arredor do 95 % remata entre 4 e 8 minutos, e case todos rematan entre 3 e 9 minutos.
A regra só funciona ben con datos en forma de campa. Os grupos pequenos, como os dous equipos do cuestionario, poucas veces a seguen de preto. En datos asimétricos, como os ingresos ou os tempos de espera, a media e a desviación estándar poden dar unha imaxe enganosa, e a mediana e o rango adoitan describir mellor os datos.
A media é o punto de partida de toda desviación estándar, así que axuda calcular medias con rapidez. No xogo de estatística, cada ataque dun combate é unha pregunta de estatística, así que achar unha media mentalmente pasa a formar parte de gañar unha rolda. As roldas curtas e frecuentes desenvolven esa rapidez mellor ca unha sesión longa.
A desviación estándar é a distancia típica á media
A desviación estándar responde unha pregunta. A que distancia da media está un valor típico? Segue estes pasos sempre que necesites calculala a man.
- Acha a media.
- Resta a media de cada valor.
- Eleva ao cadrado cada diferenza.
- Suma os cadrados.
- Divide entre N para unha poboación completa, ou entre n − 1 para unha mostra.
- Calcula a raíz cadrada.
Un resultado pequeno significa que os valores están xuntos, e un grande significa que están dispersos. Interprétao sempre xunto coa media e as unidades, porque unha dispersión só ten sentido no seu contexto.
Adestra estas a continuación