Como se calcula o volume dun cilindro?
Para calcular o volume dun cilindro, eleva ao cadrado o raio da base circular, multiplica por π, que vale aproximadamente 3,14, e despois multiplica pola altura. Esa é a fórmula V = πr²h. Escribe o resultado en unidades cúbicas, como cm³ ou m³, porque o volume mide o espazo que hai dentro dun corpo, non unha lonxitude nin unha superficie.
Exemplo
Calcula o volume dun cilindro de 3 cm de raio e 10 cm de altura.
- Eleva o raio ao cadrado. 3 · 3 = 9
- Multiplica por π para obter a área da base. 9 · π ≈ 28,27 cm²
- Multiplica pola altura. 9π · 10 = 90π
- Engade as unidades cúbicas. O volume é duns 282,74 cm³
Tamén podes deixar o resultado como 90π cm³. Esta forma exacta evita redondear e é habitual nos últimos cursos.
O descoido máis frecuente é multiplicar o raio por 2 en vez de elevalo ao cadrado. Cun raio de 3 cm, 3 · 2 = 6, pero 3² = 9. Outro é elevar tamén a altura ao cadrado. Só o raio vai ao cadrado, porque só a base é un círculo.
Por que o volume dun cilindro é πr²h?
Un cilindro é unha pila de círculos iguais, como un montón de moedas. Cada círculo ten unha área de πr², e a pila mide h unidades de alto. Por iso o volume é a área da base multiplicada pola altura. Os prismas seguen a mesma regra, V = área da base · altura.
Exemplo
Imaxina unha pila de galletas redondas e finas, cada unha cunha área de 20 cm². Se a pila mide 5 cm de alto, ocupa 20 · 5 = 100 cm³ de espazo. Un cilindro cunha área da base de 20 cm² e unha altura de 5 cm ten o mesmo volume.
Esta imaxe tamén explica que pasa cando o cilindro cambia de forma. Se duplicas a altura, duplicas o número de capas, así que o volume duplícase. Se duplicas o raio, cada capa faise catro veces máis grande, porque o raio vai ao cadrado. Así que o volume multiplícase por catro.
Un cilindro tamén encaixa moi ben xunto a outros dous corpos redondos. Un cono coa mesma base e a mesma altura contén exactamente un terzo do cilindro. Unha esfera que cabe xusta dentro dun cilindro ocupa dous terzos del, un resultado do que, segundo a Britannica, Arquímedes estaba tan orgulloso que pediu que o gravasen na súa tumba.
Como se calcula o volume dun cilindro a partir do diámetro?
Para calcular o volume a partir do diámetro, divide o diámetro entre 2 para obter o raio e logo usa V = πr²h. O diámetro é a distancia dun lado a outro da base circular pasando polo centro, así que é o dobre do raio. Nun só paso, a fórmula é V = πd²h : 4, que dá exactamente o mesmo resultado.
Exemplo
Unha lata ten 8 cm de diámetro e 12 cm de altura. A metade do diámetro dá un raio de 4 cm. Entón 4² · π · 12 = 192π ≈ 603,19 cm³.
Coa fórmula dun só paso, 8² = 64, e logo 64 · π · 12 : 4 = 192π ≈ 603,19 cm³. Os dous camiños coinciden.
Poñer o diámetro directamente en πr²h é un erro moi común. Coa lata de antes, iso dá 64 · π · 12 ≈ 2412,74 cm³, que é catro veces de máis. Se un resultado che parece sorprendentemente grande, comproba que dividiches antes o diámetro entre 2.
Como se pasa o volume dun cilindro a litros?
Para pasar o volume dun cilindro a litros, calcula o volume en centímetros cúbicos e divide entre 1000, porque 1 litro son 1000 cm³. Se o volume está en metros cúbicos, multiplica por 1000, porque en 1 m³ caben 1000 litros. Antes de comezar, asegúrate de que todas as medidas están na mesma unidade.
Exemplo
Un vaso ten 7 cm de diámetro e 10 cm de altura, medidos por dentro.
- Calcula o raio. 7 : 2 = 3,5 cm
- Calcula o volume. 3,5² · π · 10 ≈ 384,85 cm³
- Pasa a litros. 384,85 : 1000 ≈ 0,38 litros, ou uns 385 ml
Para un exemplo máis grande, colle un depósito de auga de 0,5 m de raio e 1,2 m de altura. O seu volume é 0,5² · π · 1,2 ≈ 0,94 m³. Multiplica por 1000 e verás que o depósito contén uns 942 litros.
Un problema frecuente son as unidades mesturadas, como un raio en centímetros e unha altura en metros. Primeiro pásao todo a unha mesma unidade. Pasar de cm³ a m³, mililitros e litros resulta moito máis rápido con unhas cantas roldas de conversión de unidades.
Como se calcula a altura ou o raio dun cilindro a partir do seu volume?
Para calcular a altura, divide o volume entre a área da base, é dicir, h = V : (πr²). Para calcular o raio, divide o volume entre π pola altura e logo fai a raíz cadrada, é dicir, r = √(V : (πh)). As dúas fórmulas son simplemente V = πr²h ao revés, paso a paso.
Exemplo
Unha xerra cilíndrica debe conter 1 litro, que son 1000 cm³, e o seu raio é de 5 cm. A súa altura debe ser 1000 : (π · 5²) = 1000 : 78,54 ≈ 12,73 cm.
Agora ao revés. Un cilindro de 10 cm de altura contén 500 cm³. O seu raio é √(500 : (π · 10)) = √15,92 ≈ 3,99 cm.
Para comprobar calquera dos dous resultados, volve poñer os números en V = πr²h. Para a xerra, π · 5² · 12,73 ≈ 1000 cm³, así que a altura é correcta.
A fórmula fíxase mellor cando a usas a miúdo, con números distintos. No xogo de xeometría, cada ataque dun combate é unha pregunta sobre figuras, así que lembrar πr²h rapidamente pasa a formar parte de gañar unha rolda. No xogo π conta como 3, así que cada resultado é un número enteiro que podes calcular de cabeza. As roldas curtas e frecuentes funcionan mellor ca unha sesión longa.
Como se calcula o volume dun cilindro oco?
Un cilindro oco, como un tubo, é un cilindro grande ao que se lle quitou un máis pequeno do centro. Calcula o volume do cilindro exterior, resta o volume do oco, e o que queda é o material. Como fórmula, é V = π(R² − r²)h, onde R é o raio exterior e r é o raio interior.
Exemplo
Un tubo mide 100 cm de longo, cun raio exterior de 5 cm e un raio interior de 4 cm.
- Eleva os dous raios ao cadrado. 5² = 25 e 4² = 16
- Resta. 25 − 16 = 9
- Multiplica por π e pola lonxitude. 9 · π · 100 = 900π ≈ 2827,43 cm³
Un erro común é restar os raios antes de elevalos ao cadrado. Iso dá (5 − 4)² · π · 100 = 100π ≈ 314,16 cm³, que é moitísimo menos. Primeiro eleva cada raio ao cadrado e despois resta.
Calcula primeiro a área da base e logo multiplica pola altura
Calquera problema de volume dun cilindro redúcese aos mesmos dous pasos. Calcula a área da base circular e logo multiplica pola altura. Usa esta lista para escoller o punto de partida correcto.
- Co raio r e a altura h: V = πr²h
- Co diámetro d: r = d : 2, ou V = πd²h : 4
- Para calcular a altura: h = V : (πr²)
- Para calcular o raio: r = √(V : (πh))
- Cilindro oco: V = π(R² − r²)h
- Litros: cm³ : 1000, ou m³ · 1000
Escribe o resultado en unidades cúbicas e pasa a litros só ao final, cando o volume xa sexa correcto.