Os números enteiros na recta numérica
Na recta numérica, os números enteiros son os puntos, todos á mesma distancia, aos que chegas cando contas cara adiante ou cara atrás desde o 0. Números como 1/2, 3,5 ou √2 quedan nos ocos entre eles, así que non son enteiros. Aquí verás como distinguilos, por que o cero tamén conta e como funcionan de verdade as regras dos signos.
Como sabes se un número é enteiro?
Un número é enteiro se podes escribilo sen fracción nin parte decimal. Pode ser positivo, negativo ou cero. O libro de texto OpenStax Prealgebra 2e (en inglés) resúmeo de xeito sinxelo: os enteiros son os números que usamos para contar, os seus opostos e o cero. Polo tanto, 7, −7 e 0 son enteiros, pero 7,5 non.
Exemplo
Proba con estes casos rápidos.
- −12 é enteiro, porque é o oposto de 12, un número que usamos para contar.
- 0 é enteiro.
- 3,5 non é enteiro, porque ten parte decimal.
- 1/2 non é enteiro.
- 8/2 é enteiro, porque 8/2 = 4.
- √9 é enteiro, porque √9 = 3.
- √2 non é enteiro, porque vale aproximadamente 1,41.
Os últimos casos ensinan un bo hábito. Primeiro calcula o valor e despois decide. Un número pode parecer unha fracción ou unha raíz e, aínda así, resultar enteiro.
O 0 é un número enteiro?
Si, o 0 é un número enteiro. Está no centro da recta numérica, entre os enteiros negativos e os positivos. O cero non é nin positivo nin negativo, como di expresamente OpenStax. Iso si, é par, porque 0 = 2 × 0, así que ao dividilo entre 2 non sobra nada.
Os números negativos son enteiros?
Os números negativos son enteiros só se non teñen fracción nin parte decimal. −5 e −100 son enteiros. −2,5 e −3/4 son negativos, pero non son enteiros. A mesma proba serve para calquera número, sexa cal sexa o seu signo.
Que diferenza hai entre números enteiros e números naturais?
Os números naturais son os que usamos para contar, 1, 2, 3 e así sucesivamente, sen negativos. Moitos libros de texto tamén inclúen o 0. Os números enteiros conteñen todos os naturais e, ademais, os seus opostos, −1, −2, −3, etc. Polo tanto, −4 é un número enteiro pero non é natural. O propio nome dio, un número enteiro está "completo", sen anacos decimais nin fraccións. Se tes dúbidas co 0, mira que definición usa o libro de texto do teu fillo.
Exemplo
Así encaixan uns conxuntos de números dentro doutros.
- Números naturais: 1, 2, 3, 4, …
- Números naturais co cero: 0, 1, 2, 3, 4, …
- Números enteiros: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …
- Números racionais: todos os que se poden escribir como fracción de dous enteiros, como 1/2, −3/4 e 7 (que é 7/1)
Os matemáticos escriben o conxunto dos números enteiros como ℤ. A letra vén da palabra alemá Zahlen, que significa "números". Os naturais escríbense ℕ. Como acabas de ver, nin sequera con eles hai un acordo total, porque uns libros comezan polo 0 e outros polo 1.
Onde atopamos os números enteiros na vida real?
Os números enteiros aparecen sempre que contamos cara arriba e cara abaixo desde un punto cero. As temperaturas baixo cero, as plantas por debaixo da rúa, as profundidades baixo o nivel do mar ou a diferenza de goles dun equipo de fútbol son enteiros que poden ser negativos. En todos estes casos, o 0 é un punto de referencia, non "nada".
Exemplo
Pola mañá a temperatura é de −4 °C e á hora de xantar subiu 7 graos. Comeza en −4 e sobe 7 pasos pola recta numérica: −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3. Ao mediodía a temperatura é de 3 °C, así que −4 + 7 = 3.
Nun ascensor, a planta baixa adoita ser o 0, o garaxe pode estar na planta −2 e a quinta planta é o 5. Para ir da −2 á 5 percorres 7 plantas, porque 5 − (−2) = 7.
Como se suman e se restan números enteiros?
Para sumar enteiros, imaxina unha recta numérica. Sumar un número positivo móvete cara á dereita e sumar un número negativo móvete cara á esquerda. Restar é o contrario de sumar, así que restar un número negativo móvete cara á dereita. Por iso, cando quitas un negativo, o resultado é maior.
Exemplo
Calcula −3 + 5. Comeza en −3 e dá 5 pasos cara á dereita. Pasas por −2, −1, 0 e 1, e paras no 2. Así que −3 + 5 = 2.
Uns cantos máis para practicar.
- −6 + 2 = −4, porque 2 pasos á dereita desde −6 lévante a −4.
- −2 − 5 = −7, porque 5 pasos á esquerda desde −2 lévante a −7.
- 4 − (−3) = 7, porque restar −3 é o mesmo que sumar 3.
Por que restar un negativo dá un resultado maior?
Restar significa preguntarse "cal é a diferenza?". A diferenza entre 4 e −3 na recta numérica é de 7 pasos, así que 4 − (−3) = 7. OpenStax escribe a regra xeral como a − (−b) = a + b. Moitos nenos atáscanse con −5 + 4 porque ven un signo máis e esperan un número maior. Se comezas en −5 e avanzas 4 cara á dereita, ves que o resultado é −1.
Por que menos por menos é máis?
Cando multiplicas dous enteiros, o resultado é positivo se os signos son iguais e negativo se son distintos. Un negativo por un negativo dá positivo por un padrón. Cada vez que o primeiro número baixa 1, o resultado cambia na mesma cantidade, e ese padrón só continúa se o resultado pasa a ser positivo.
Exemplo
Fíxate no que pasa con 3 × (−2) cando o primeiro número baixa de 1 en 1.
- 3 × (−2) = −6
- 2 × (−2) = −4
- 1 × (−2) = −2
- 0 × (−2) = 0
- (−1) × (−2) = 2
- (−2) × (−2) = 4
Cada resultado é 2 máis que o anterior. Para que o padrón continúe despois do cero, (−1) × (−2) ten que ser 2. Outra forma de velo é que multiplicar por −1 fai que deas media volta na recta numérica. Se dás media volta dúas veces, volves mirar cara ao mesmo lado.
A división de enteiros segue a mesma regra dos signos?
Si. (−12) : 3 = −4 e (−12) : (−3) = 4, coa mesma regra de signos iguais e distintos. Pero hai unha diferenza. Sumar, restar ou multiplicar dous enteiros sempre dá un enteiro, pero dividir non sempre. 8 : 2 = 4 é enteiro, mentres que 7 : 2 = 3,5 non o é.
Como se gaña rapidez cos números enteiros?
A rapidez cos enteiros chega facendo moitos cálculos curtos ata que tes a recta numérica na cabeza. No xogo de números negativos, cada ataque é un cálculo rápido con números negativos, así que os nenos practican as regras dos signos mentres intentan gañar o combate.
Na rolda de arriba, restar −17 é o mesmo que sumar 17, así que −1 − (−17) = −1 + 17 = 16.
A distancia dun número ao cero chámase valor absoluto, así que o valor absoluto de −5 é 5. É a seguinte idea que adoitan estudar os alumnos despois dos enteiros, e o xogo de valor absoluto convértea nunha serie de roldas rápidas.
Os números enteiros son os que alcanzas contando cara adiante ou cara atrás
Cada número enteiro é un paso ao que podes chegar contando desde o 0, cara á dereita para os positivos e cara á esquerda para os negativos. O cero está no centro e tamén forma parte do grupo. Se un neno é capaz de imaxinar esta recta numérica, as regras para sumar, restar e multiplicar deixan de ser regras para memorizar e comezan a ter sentido.
Adestra estas a continuación