Phi, bilangan yang sangat terkenal
Para matematikawan menuliskannya dengan huruf Yunani φ (phi), dan bilangan ini terkenal karena katanya bersembunyi di bunga matahari, bangunan terkenal, dan wajah yang cantik. Sebagian ketenaran itu memang layak, tetapi banyak juga yang tidak. Kita bahas matematikanya dulu, lalu versi jujur tentang di mana rasio emas benar-benar muncul.
Bagaimana cara menghitung rasio emas?
Rasio emas dihitung dengan rumus φ = (1 + √5) : 2. Akar kuadrat dari 5 kira-kira 2,236. Tambahkan 1, bagi dengan 2, dan hasilnya kira-kira 1,618. Angka di belakang komanya tidak pernah habis dan tidak berulang, karena φ adalah bilangan irasional. Untuk sebagian besar keperluan sehari-hari, 1,618 sudah cukup tepat.
Contoh
Hitung dengan kalkulator dalam tiga langkah.
- √5 ≈ 2,236
- 1 + 2,236 = 3,236
- 3,236 : 2 = 1,618
Jadi, φ ≈ 1,618. Jika perlu lebih teliti, φ = 1,6180339887 sampai sepuluh angka di belakang koma.
Dari mana asal (1 + √5) : 2?
Ambil sebuah garis dan bagi menjadi bagian panjang a dan bagian pendek b. Pembagian itu disebut emas jika perbandingan seluruh garis dengan bagian panjang sama dengan perbandingan bagian panjang dengan bagian pendek. Dalam simbol, (a + b) : a = a : b. Nilai yang sama itulah φ.
Sekarang buat bagian pendek bernilai 1, sehingga bagian panjang bernilai φ. Aturannya menjadi (φ + 1) : φ = φ. Kalikan kedua ruas dengan φ dan kamu mendapat φ² = φ + 1, atau φ² − φ − 1 = 0. Itu adalah persamaan kuadrat, dan penyelesaian positifnya adalah (1 + √5) : 2. Britannica (dalam bahasa Inggris) menjelaskan penyusunan ulang yang sama menjadi x² − x − 1 = 0.
Mengapa 1,618, 0,618, dan 2,618 terlihat begitu mirip?
Karena φ² = φ + 1, mengkuadratkan φ sama saja dengan menambahkan 1. Jadi φ² ≈ 2,618. Bagi persamaan yang sama dengan φ dan kamu mendapat φ = 1 + 1 : φ, artinya 1 : φ = φ − 1 ≈ 0,618. Itulah sebabnya tiga bilangan yang berbeda memiliki angka desimal yang sama.
Mengapa rasio emas begitu istimewa?
Rasio emas istimewa karena merupakan satu-satunya bilangan positif yang kuadratnya sama dengan bilangan itu ditambah satu, dan kebalikannya sama dengan bilangan itu dikurangi satu. Rasio ini juga menghubungkan geometri dan berhitung. Nilai yang sama muncul ketika kamu membagi garis secara seimbang, ketika menggambar segi lima beraturan, dan ketika membagi bilangan Fibonacci yang berurutan.
Contoh
Pada segi lima beraturan dengan sisi 1, setiap diagonal (garis dari satu titik sudut ke titik sudut yang tidak bersebelahan) panjangnya tepat φ, kira-kira 1,618. Itulah sebabnya bintang bersudut lima yang digambar di dalam segi lima penuh dengan rasio emas. Setiap ujung bintang dipotong oleh garis-garis lainnya dalam perbandingan emas.
Gagasan ini sudah sangat tua. Menurut Britannica, asalnya dari Euclid, yang dalam bukunya Elements menyebutnya pembagian dalam “rasio ekstrem dan rata-rata”.
Apakah rasio emas sama dengan pi?
Tidak. Pi (π ≈ 3,14) adalah perbandingan keliling lingkaran dengan diameternya, sedangkan rasio emas (φ ≈ 1,618) berasal dari pembagian sebuah garis. Keduanya bilangan irasional dengan angka desimal tak berujung, dan mungkin karena itulah orang sering tertukar. Nilainya berbeda dan berasal dari bangun yang berbeda.
Apakah rasio emas dan barisan Fibonacci itu sama?
Rasio emas dan barisan Fibonacci tidak sama, tetapi keduanya sangat berkaitan. Barisan Fibonacci adalah daftar bilangan cacah yang setiap sukunya merupakan jumlah dua suku sebelumnya. Jika kamu membagi setiap bilangan Fibonacci dengan bilangan sebelumnya, hasilnya makin lama makin dekat dengan rasio emas.
Contoh
Ambil bilangan yang berurutan dari barisan Fibonacci lalu bagi.
- 5 : 3 ≈ 1,667
- 8 : 5 = 1,6
- 13 : 8 = 1,625
- 21 : 13 ≈ 1,615
- 34 : 21 ≈ 1,619
- 89 : 55 ≈ 1,618
Hasilnya melompat di atas dan di bawah 1,618, lalu cepat stabil. Pada 144 : 89, hasilnya sudah sama dengan φ sampai tiga angka di belakang koma. Ini kegiatan kalkulator yang seru untuk anak-anak, karena mereka bisa melihat pola muncul hanya dari pembagian biasa.
Menemukan aturan di balik deretan bilangan adalah keterampilan yang jauh melampaui Fibonacci. Dalam permainan barisan bilangan, setiap serangan berupa barisan dengan satu bilangan yang hilang, dan kamu harus menemukan aturannya sebelum lawanmu.
Pada ronde di gambar, setiap bilangan 5 lebih besar dari bilangan sebelumnya, jadi bilangan yang hilang adalah 24.
Bagaimana cara menggambar persegi panjang emas?
Persegi panjang emas memiliki sisi panjang yang kira-kira 1,618 kali sisi pendeknya. Untuk menggambarnya, kalikan sisi pendek dengan 1,618, atau bagi sisi panjang dengan 1,618 untuk mencari sisi pendek. Kamu juga bisa membuatnya secara tepat dengan jangka, dimulai dari sebuah persegi, tanpa mengukur angka desimal sama sekali.
Contoh
Jika sisi pendek 10 cm, sisi panjangnya 10 × 1,618 ≈ 16,2 cm. Jika sebuah halaman lebarnya 1.000 piksel dan kamu ingin pembagian emas, bagi dengan φ. Hasilnya kolom utama sekitar 618 piksel dan kolom samping sekitar 382 piksel.
Untuk menggambarnya dengan jangka, ikuti langkah-langkah ini.
- Gambar persegi dengan sisi 1 (misalnya 1 desimeter).
- Tandai titik tengah sisi bawah.
- Letakkan ujung jangka di titik tengah itu dan buka sampai mencapai titik sudut atas di sisi seberang. Jarak itu adalah √5 : 2, kira-kira 1,118.
- Putar jangka ke bawah sampai mengenai perpanjangan garis bawah. Panjang barunya 0,5 + 1,118 = 1,618.
- Lengkapi persegi panjangnya. Sisinya 1 dan φ.
Jika persegi dipotong dari persegi panjang emas, potongan yang tersisa adalah persegi panjang emas lain. Ulangi langkah itu dan gambar seperempat lingkaran di setiap persegi, maka kamu mendapat spiral yang sering muncul di gambar-gambar rasio emas. Geometri seperti ini juga ada dalam permainan geometri, tempat bangun datar, sudut, dan luas berubah menjadi tantangan cepat.
Di mana rasio emas muncul di alam?
Contoh paling jelas di alam adalah cara banyak tumbuhan mengatur daun dan bijinya. Setiap biji baru di kepala bunga matahari tumbuh dengan putaran yang kurang lebih sama dari biji sebelumnya, sekitar 137,5°. Sudut emas ini menyusun biji dengan rapat tanpa celah, dan menghasilkan spiral yang jumlahnya sering berupa bilangan Fibonacci.
Contoh
Sudut emas berasal langsung dari φ. Bagi satu putaran penuh dengan φ² dan kamu mendapat 360° : 2,618 ≈ 137,5°. Cara lain untuk melihatnya, putaran itu membagi lingkaran menjadi dua busur, sekitar 222,5° dan 137,5°, dalam perbandingan emas.
Sebuah tinjauan tahun 2022 oleh peneliti University of Nottingham, The Golden Ratio in Nature (dalam bahasa Inggris), mengumpulkan contoh dari berbagai skala dan menyebut rasio ini memiliki “kecenderungan untuk muncul di banyak bidang ilmiah dan seni”. Kecenderungan adalah kata yang tepat. Banyak tumbuhan mengikuti pola lain, jadi ini bukan hukum alam.
Apakah cangkang nautilus berbentuk spiral emas?
Biasanya tidak. Nautilus tumbuh mengikuti spiral logaritmik, yang bentuknya tetap sama meski makin besar, dan itu sendiri sudah indah. Pengukuran cangkang asli biasanya menunjukkan rasio pertumbuhan yang berbeda dari φ. Spiral emas yang digambar di atas foto nautilus hanyalah gambar yang bagus, bukan hasil pengukuran.
Apakah rasio emas benar-benar ada dalam seni, bangunan, dan wajah?
Sebagian besar tidak. Klaim bahwa Parthenon, lukisan terkenal, atau wajah yang menarik mengikuti rasio emas tidak terbukti ketika diukur dengan cermat. Dalam artikel tahun 2022 di The Conversation (dalam bahasa Inggris), matematikawan UNSW Thomas Britz menjelaskan bahwa φ sangat jarang ditemukan dalam seni dan arsitektur Yunani kuno.
Contoh
Klaim populer tentang Parthenon adalah bahwa bagian depannya pas dengan persegi panjang emas. Britz menulis bahwa perhitungan yang cermat menunjukkan klaim ini salah. Hal yang sama berlaku untuk “tes wajah rasio emas” yang memberi nilai pada selebritas. Topeng wajah yang menjadi dasarnya sudah dibantah, dan tidak ada satu bilangan pun yang menentukan apakah sebuah wajah cantik.
Salah satu alasan mitos ini bertahan adalah orang hanya memilih contoh yang cocok. Hampir setiap bangunan atau wajah punya sepasang panjang yang perbandingannya mendekati 1,6, apalagi jika kamu bebas memilih bagian mana yang diukur. Perbandingan seperti 3 : 2 = 1,5 atau 16 : 9 ≈ 1,78 juga enak dilihat dan jauh lebih umum di layar dan foto. Pengujian yang adil memeriksa banyak benda dan menghitung yang meleset sama seperti yang cocok.
Apakah seniman dan desainer sengaja memakai rasio emas?
Sebagian ya. Desainer kadang memakai 1,618 sebagai titik awal untuk tata letak, bingkai foto, atau ukuran huruf, karena menghasilkan pembagian yang tidak terlalu rata dan tidak terlalu timpang. Itu pilihan desain, bukan bukti bahwa rasio ini tersembunyi di semua hal yang indah. Cara kerjanya sama seperti proporsi rapi lainnya.
Rasio emas adalah matematika sungguhan, bukan aturan kecantikan
Rasio emas adalah bilangan yang pasti, (1 + √5) : 2 ≈ 1,618, dengan sifat-sifat yang membuat para matematikawan tersenyum. Mengkuadratkannya menambah 1, membagi 1 dengannya mengurangi 1, dan bilangan Fibonacci makin mendekatinya. Rasio ini membentuk spiral biji pada banyak tumbuhan, sedangkan sebagian besar cerita tentang wajah dan bangunan terkenal hanyalah pengukuran yang dipaksakan.
Cara yang baik untuk menjelajahinya bersama anak adalah lewat kegiatan langsung. Bagi bilangan Fibonacci dengan kalkulator, gambar persegi panjang emas dengan jangka, atau hitung spiral pada buah pinus. Setiap kegiatan menunjukkan pola yang nyata, dan tidak satu pun membutuhkan mitos agar menarik.