Come si costruisce la successione di Fibonacci?
Per costruire la successione di Fibonacci, scrivi 0 e 1, poi somma gli ultimi due numeri per ottenere il successivo e continua a ripetere questo passaggio. Ogni nuovo numero dipende solo dai due precedenti, quindi la lista può andare avanti all'infinito. I numeri che scrivi in questo modo si chiamano numeri di Fibonacci.
Esempio
Costruisci la successione passo dopo passo. Parti da 0 e 1.
- 0 + 1 = 1
- 1 + 1 = 2
- 1 + 2 = 3
- 2 + 3 = 5
- 3 + 5 = 8
- 5 + 8 = 13
- 8 + 13 = 21
Ogni nuovo numero ha bisogno solo degli ultimi due. Per questo è una bella sfida di calcolo mentale per i bambini, perché i numeri crescono in fretta ma la regola non cambia mai. La regola è abbastanza semplice per un bambino piccolo, eppure gli stessi numeri compaiono nei girasoli, nelle pigne e nella sezione aurea.
La successione inizia con 0 o con 1?
Sono diffuse entrambe le versioni. Molti libri iniziano con 0, 1, 1, 2, 3, altri con 1, 1, 2, 3. I numeri che seguono sono gli stessi in tutti e due i casi. I matematici di solito scrivono la regola come Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂, con F₀ = 0 e F₁ = 1, che significa "ogni termine è la somma dei due precedenti".
Regolarità nascoste nella successione
La successione contiene piccole regolarità che i bambini si divertono a scoprire. Un numero ogni tre è pari (0, 2, 8, 34, 144, 610), e tutti gli altri sono dispari. Un numero ogni cinque è divisibile per 5 (0, 5, 55, 610). Chiedi a un bambino di controllare queste regolarità più avanti nella lista. È un modo divertente per esercitarsi con l'addizione e scoprire una struttura allo stesso tempo.
Da dove viene la successione di Fibonacci?
La successione prende il nome da Leonardo Pisano, detto Fibonacci, un matematico italiano. La descrisse nel suo libro Liber abaci, scritto nel 1202, attraverso un problema sui conigli. Secondo Britannica, è la prima successione ricorsiva conosciuta in Europa, cioè una successione in cui ogni termine si costruisce a partire dai termini precedenti.
Esempio
Il problema dei conigli funziona così. Si parte da una coppia di conigli appena nati. Una coppia ha bisogno di un mese per diventare adulta, e da quel momento ogni coppia adulta genera una nuova coppia ogni mese. Nessun coniglio se ne va mai. Conta le coppie all'inizio di ogni mese.
- Mese 1: 1 coppia (appena nata)
- Mese 2: 1 coppia (ora adulta)
- Mese 3: 2 coppie (gli adulti e i loro primi piccoli)
- Mese 4: 3 coppie
- Mese 5: 5 coppie
- Mese 6: 8 coppie
Il totale di ogni mese è il totale precedente più il numero di coppie adulte, e le coppie adulte sono esattamente il totale di due mesi prima. Questa è la regola di Fibonacci. Naturalmente i conigli veri non si comportano in modo così ordinato. Il problema serviva a descrivere la regolarità, non a studiare gli animali.
Come si trova il numero successivo nella successione di Fibonacci?
Per trovare il numero di Fibonacci successivo, somma gli ultimi due numeri della lista. Dopo 21 e 34 viene 21 + 34 = 55, e dopo 34 e 55 viene 89. Per trovare un numero molto avanti nella successione, tieni una lista aggiornata oppure usa la formula di Binet, che calcola direttamente qualsiasi termine con la sezione aurea.
Esempio
Trova il 10° numero di Fibonacci, contando F₀ = 0 come punto di partenza. Scrivendo la lista si ottiene 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, quindi F₁₀ = 55.
La formula di Binet dà la stessa risposta senza la lista. Eleva la sezione aurea φ (circa 1,618) alla decima potenza e dividi per √5. Si ottiene circa 122,99 : 2,236 ≈ 55,004, e arrotondando al numero intero più vicino si ottiene 55. Per i ragazzi più grandi è una bella sorpresa, perché un numero costruito con le radici quadrate cade ogni volta vicinissimo a un numero intero.
Scoprire la regola dietro una lista di numeri è un'abilità che va ben oltre Fibonacci. Il gioco delle successioni numeriche la trasforma in un combattimento, in cui ogni attacco è una successione e devi trovare il numero mancante. È un modo veloce per allenarti a vedere regolarità come "somma gli ultimi due" senza scrivere niente.
Che rapporto c'è tra la successione di Fibonacci e la sezione aurea?
Se dividi ogni numero di Fibonacci per quello precedente, i risultati si avvicinano sempre di più alla sezione aurea, circa 1,618. Per esempio, 8 : 5 = 1,6, 13 : 8 = 1,625 e 89 : 55 ≈ 1,618. La sezione aurea vale (1 + √5) : 2, un numero le cui cifre decimali non finiscono mai e non si ripetono.
Esempio
Guarda come i rapporti si stabilizzano mentre i numeri crescono.
- 3 : 2 = 1,5
- 5 : 3 ≈ 1,667
- 8 : 5 = 1,6
- 13 : 8 = 1,625
- 21 : 13 ≈ 1,615
- 34 : 21 ≈ 1,619
- 55 : 34 ≈ 1,618
I risultati saltano sopra e sotto 1,618, avvicinandosi ogni volta di più. Britannica riporta che questo legame fu descritto dal matematico Robert Simson nel 1753.
Che cos'è la spirale di Fibonacci?
Disegna un quadrato di lato 1, poi un altro quadrato di lato 1 accanto, poi un quadrato di lato 2, poi 3, poi 5, poi 8, ognuno appoggiato al rettangolo che hai ottenuto fino a quel momento. Unisci gli angoli opposti di ogni quadrato con un quarto di cerchio e ottieni la spirale di Fibonacci. È una buona approssimazione della spirale aurea, che cresce secondo la sezione aurea a ogni quarto di giro.
Dove si trova la successione di Fibonacci in natura?
I numeri di Fibonacci compaiono spesso nelle piante. I semi di un girasole formano due serie di spirali, e il numero di spirali in ciascuna direzione è di solito una coppia di numeri di Fibonacci vicini, come 34 e 55 oppure 55 e 89. Le pigne mostrano spirali simili, e molti fiori hanno 3, 5, 8, 13 o 21 petali.
Esempio
Prendi una pigna o una foto di un girasole e conta le spirali che girano in senso orario. Poi conta quelle che girano nell'altro senso. Le pagine su Fibonacci in natura del Dr Ron Knott, dell'Università del Surrey, mostrano girasoli con 55 spirali in un senso e 34 nell'altro, e girasoli più grandi con 89 e 55.
Le stesse pagine elencano i fiori in base al numero di petali, come i delfinii con 8, il senecione e alcune margherite con 13, e gli astri con 21. Contare insieme è una bella attività pratica, e mostra ai bambini che i numeri descrivono cose reali intorno a loro.
Perché le piante crescono a spirali di Fibonacci?
Molte piante posizionano ogni nuovo seme o foglia con circa lo stesso angolo di rotazione rispetto al precedente, circa 137,5°. Questo angolo, legato alla sezione aurea, permette di disporre i semi vicini senza spazi sprecati, e le spirali che puoi contare sono un effetto collaterale di questa rotazione costante. La seconda parte della guida di Ron Knott spiega perché questo angolo funziona così bene.
La successione di Fibonacci è davvero ovunque in natura?
No. I numeri di Fibonacci sono comuni nelle piante, ma non sono una legge della natura. Le pagine di Ron Knott del Surrey fanno notare che non sempre si trovano numeri di Fibonacci nei petali o nelle infiorescenze, e alcuni fiori, come le fucsie, hanno 4 petali. Molte affermazioni che si leggono online, soprattutto su conchiglie, volti ed edifici famosi, vanno ben oltre le prove.
Esempio
La conchiglia del nautilo viene spesso mostrata con una spirale aurea disegnata sopra. La conchiglia cresce davvero secondo una spirale logaritmica, una curva che mantiene la stessa forma mentre si ingrandisce. Ma le pagine di Knott fanno notare che il suo fattore di crescita varia e potrebbe non essere la sezione aurea, e che chiamarla spirale aurea è sbagliato. Il nautilo è quindi una spirale bellissima, ma non una prova di Fibonacci.
È una lezione utile anche per i ragazzi più grandi. Una regolarità che compare spesso merita attenzione, ma la domanda onesta è sempre "quanto spesso, e con quanta precisione?". Contare le spirali di una pigna vera è una prova migliore di qualsiasi immagine trovata online.
Due numeri di partenza e una sola regola costruiscono tutta la successione
Ogni numero di Fibonacci nasce dallo stesso passaggio, la somma dei due numeri che lo precedono. Ecco i primi 21 termini, a partire da F₀ = 0, così puoi controllare la tua lista.
- 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34
- 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987
- 1.597, 2.584, 4.181, 6.765
Se un bambino perde il filo, torna agli ultimi due numeri di cui è sicuro e somma di nuovo. La regola non cambia mai, quindi un errore si corregge sempre facilmente.
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