Se ti sembra sbagliato, sei in buona compagnia. Migliaia di persone, alcune anche con un dottorato, all'inizio si sono rifiutate di crederci. Qui sotto trovi il rompicapo e poi alcuni modi diversi per capire perché conviene cambiare. Probabilmente uno di questi ti farà scattare la scintilla.
Come funziona il problema di Monty Hall?
Sei in un quiz televisivo, davanti a tre porte chiuse. Dietro una c'è un'auto, dietro le altre due ci sono delle capre. Scegli una porta. Il conduttore, che sa dov'è l'auto, apre una delle altre due porte e ti mostra una capra. Poi ti chiede se vuoi tenere la tua porta o cambiare con l'ultima rimasta chiusa.
Quasi tutti alzano le spalle e dicono che non fa differenza. Sono rimaste due porte, quindi deve essere 50 e 50. Non è così. Cambiando, vinci l'auto 2 volte su 3.
Il rompicapo prende il nome da Monty Hall, il conduttore del quiz televisivo americano Let's Make a Deal. La famosa risposta dipende da tre regole.
- Il conduttore apre sempre una porta che non hai scelto.
- Il conduttore mostra sempre una capra, mai l'auto.
- Il conduttore ti offre sempre la possibilità di cambiare.
Perché cambiando si vince 2 volte su 3?
La tua prima scelta è sbagliata 2 volte su 3. E ogni volta che è sbagliata, il conduttore non ha scelta. Deve aprire l'altra porta con la capra, e così l'auto resta dietro la porta con cui puoi cambiare. Quindi cambiare vince ogni volta che la prima scelta era sbagliata, e perde solo quando avevi preso l'auto al primo colpo.
Esempio
Diciamo che scegli sempre la porta 1. L'auto può trovarsi solo in tre posti, e ognuno ha la stessa probabilità.
- L'auto è dietro la porta 1. Il conduttore apre la porta 2 o la porta 3. Chi resta vince, chi cambia perde.
- L'auto è dietro la porta 2. Il conduttore deve aprire la porta 3. Chi resta perde, chi cambia vince.
- L'auto è dietro la porta 3. Il conduttore deve aprire la porta 2. Chi resta perde, chi cambia vince.
Fai il conto. Restare vince una volta, cambiare vince due volte. E funziona allo stesso modo qualunque sia la porta di partenza.
C'è anche un altro modo di immaginarlo. La tua porta parte con 1 probabilità su 3, e le altre due porte si dividono le restanti 2 su 3. Quando il conduttore ne apre una, l'auto non si sposta. Ti sta solo mostrando quale di quelle due porte ora ha da sola tutti i 2 su 3.
Perché con due porte rimaste non è 50 e 50?
Perché il conduttore non apre una porta a caso. Sa dov'è l'auto e la evita sempre, quindi la porta che lascia chiusa è stata scelta sapendo tutto. La tua porta invece l'hai scelta alla cieca e mantiene la sua probabilità di 1 su 3. L'altra porta chiusa si prende il resto, cioè 2 su 3.
Un articolo di Scientific American su questo rompicapo attribuisce l'errore a quello che gli psicologi chiamano bias dell'equiprobabilità. Tendiamo a dare per scontato che i risultati che abbiamo davanti siano tutti ugualmente probabili. Due porte sembrano un testa o croce, e smettiamo di pensare.
L'altra trappola è che la mossa del conduttore sembra non dirti niente. In realtà ti dice molto. Ogni volta che la tua porta nasconde una capra, il conduttore è costretto a lasciare chiusa la porta dell'auto. Quella scelta obbligata è l'informazione nascosta.
La versione con 100 porte rende tutto più facile?
Per molte persone sì. Immagina 100 porte e una sola auto. Ne scegli una, e il conduttore, che sa dov'è l'auto, apre 98 delle altre e mostra 98 capre. Resta chiusa una sola porta. La tua porta aveva 1 probabilità su 100. La porta che il conduttore ha saltato con cura ora ha le altre 99 su 100.
Esempio
Scegli la porta 37. Il conduttore apre tutte le porte da 1 a 100 tranne la 37 e la 82. Pensi davvero che la tua prima scelta, fatta a caso, fosse quella fortunata? È molto più probabile che abbia saltato la porta 82 perché l'auto è proprio lì dietro.
Marilyn vos Savant, che ha reso famoso il rompicapo, usava una versione ancora più grande, con un milione di porte. L'idea è la stessa con tre porte, solo che è più difficile da percepire. Se le 100 porte non ti aiutano, prova a pensare all'errore. La tua prima scelta è sbagliata 2 volte su 3, e cambiare trasforma ogni scelta sbagliata in una vittoria.
Cosa succede se il conduttore non sa dov'è l'auto?
In quel caso cambiare non serve più. Se il conduttore apre una porta a caso e per puro caso esce una capra, restare e cambiare vincono entrambi la metà delle volte. La risposta dei 2 su 3 vale solo quando il conduttore sa dov'è l'auto, apre sempre una porta con la capra e offre sempre il cambio.
Esempio
Scegli la porta 1, e un conduttore che non sa niente apre a caso la porta 2 o la porta 3. A volte rivela l'auto per sbaglio, e quelle partite sono rovinate. Nelle partite in cui esce una capra, l'auto è dietro la tua porta esattamente la metà delle volte.
Il vero Monty Hall ha fatto notare lo stesso tranello. In un articolo del New York Times del 1991, avvertiva che un concorrente deve stare attento se il conduttore può decidere se offrire o no il cambio. In un vero programma, l'offerta stessa potrebbe essere una trappola.
Come puoi verificare da solo il problema di Monty Hall?
Ti servono solo tre carte da gioco e un amico. Un asso è l'auto, altre due carte sono le capre. Il tuo amico le mescola coperte, tu ne indichi una e il tuo amico gira una capra che non hai scelto. Gioca 30 manche cambiando sempre. Dovresti vincerne circa 20.
Poi gioca altre 30 manche restando sempre sulla tua carta. Questa volta dovresti vincerne circa 10. Con così poche manche i numeri oscilleranno un po', ma la differenza si vede presto.
Anche matematici famosi hanno avuto bisogno di vederlo con i propri occhi. Scientific American ricorda che pure il prolifico matematico Paul Erdős ci è cascato. Quindi, se ti sembra ancora sbagliato, prendi le carte.
Quello che il rompicapo allena davvero è contare tutti i casi possibili in modo corretto. Il gioco della probabilità fa lo stesso tipo di domanda a ogni turno. Nella sfida qui sotto, per esempio, devi contare in quanti modi 4 monete possono mostrare esattamente 1 testa. La risposta è 4, perché la testa può essere su una qualsiasi delle quattro monete.
Perché così tante persone sbagliano il problema di Monty Hall?
Due porte chiuse sembrano semplicemente una scelta al 50 e 50, ed è facile non accorgersi che il conduttore sa qualcosa che noi non sappiamo. Probabilmente conta anche il rimpianto. Perdere dopo aver lasciato la porta con l'auto fa più male che perdere restando, così molte persone tengono la prima porta anche quando hanno capito il calcolo.
Il rompicapo è apparso per la prima volta nel 1975, in alcune lettere dello statistico Steve Selvin. È diventato famoso nel 1990, quando Marilyn vos Savant ha risposto nella sua rubrica Ask Marilyn sulla rivista Parade consigliando ai lettori di cambiare. Secondo Scientific American ha ricevuto circa 10.000 lettere che le davano torto. Il New York Times ha aggiunto che quasi 1.000 erano firmate da persone con un dottorato.
Aveva ragione lei, naturalmente. Quelle lettere ormai fanno parte della storia, e sono il miglior promemoria del fatto che una sensazione di pancia molto sicura sul caso può essere completamente sbagliata.
Cambia, purché il conduttore sappia e apra sempre una porta con la capra
Con le regole classiche, cambiare raddoppia la probabilità di vincere, da 1 su 3 a 2 su 3. Se cambiano le regole può cambiare anche la risposta, per esempio con un conduttore che apre le porte a caso o che offre il cambio solo quando gli conviene. Questa è la lezione che va oltre i quiz televisivi. Prima di fidarti di una probabilità, chiediti come sono state scelte le informazioni che hai davanti.
Allena questi adesso