Come si scrive l'equazione della retta passante per un punto?
Al posto di m metti il coefficiente angolare (la pendenza), e al posto di x₁ e y₁ le coordinate di un punto che conosci. Lascia x e y come lettere. Rappresentano tutti gli altri punti della retta. L'equazione della retta passante per un punto si usa quando conosci un punto della retta e il suo coefficiente angolare.
Esempio
Scrivi la retta che passa per (2; 3) con coefficiente angolare 2.
- Il punto dà x₁ = 2 e y₁ = 3.
- Il coefficiente angolare dà m = 2.
- Sostituisci: y − 3 = 2(x − 2).
Hai finito, e non c'è niente da semplificare. Se vuoi esserne sicuro, prova un secondo punto. Partendo da (2; 3), un passo a destra e due in su ti portano a (3; 5). Inserisci questi numeri: a sinistra 5 − 3 = 2, a destra 2(3 − 2) = 2. Coincidono.
Nota che (2; 3) compare proprio dentro l'equazione. Quando disegni il grafico, puoi appoggiare la matita prima su quel punto e partire da lì.
Come si trova l'equazione della retta passante per due punti?
Calcola prima il coefficiente angolare con m = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁). Poi prendi uno dei due punti e inseriscilo in y − y₁ = m(x − x₁) insieme a quel coefficiente. Non importa quale punto scegli. Le equazioni sembrano diverse, ma dopo averle semplificate descrivono la stessa retta.
Esempio
Trova la retta che passa per (1; −2) e (4; 7).
- Coefficiente angolare: m = (7 − (−2)) : (4 − 1) = 9 : 3 = 3
- Con (1; −2): y − (−2) = 3(x − 1), quindi y + 2 = 3(x − 1)
- Con (4; 7): y − 7 = 3(x − 4)
Svolgi i calcoli in una delle due e ottieni y = 3x − 5. Conviene saperlo prima di confrontare i compiti con le soluzioni. Se uno studente ha usato (4; 7) e le soluzioni (1; −2), compaiono due equazioni diverse, e nessuna delle due è sbagliata.
Perché un punto negativo cambia i segni?
La formula sottrae le coordinate del punto. Se una coordinata è negativa, finisci per sottrarre un numero negativo, e il meno diventa un più. Così il punto (−4; −1) dà y + 1 e x + 4. Scrivere le parentesi per intero prima di semplificare è il modo più semplice per non sbagliare il segno.
Esempio
Scrivi la retta che passa per (−4; −1) con coefficiente angolare 1/2.
- Con le parentesi: y − (−1) = 1/2(x − (−4))
- Semplificata: y + 1 = 1/2(x + 4)
Funziona anche al contrario. Data y + 5 = −2(x − 6), il punto della retta è (6; −5), non (6; 5). Qualunque segno vedi dentro l'equazione, la coordinata ha quello opposto.
Come si passa alla forma esplicita y = mx + q?
Svolgi la parentesi, poi porta il numero dal lato sinistro all'altro lato, così y resta da sola. Ottieni la forma esplicita, y = mx + q. Il coefficiente angolare non cambia durante il passaggio, e il numero che resta da solo alla fine è l'ordinata all'origine, il punto in cui la retta taglia l'asse y.
Esempio
Trasforma y − 3 = 2(x − 2).
- Svolgi la parentesi: y − 3 = 2x − 4
- Aggiungi 3 a entrambi i membri: y = 2x − 1
Il coefficiente angolare è ancora 2, e la retta taglia l'asse y in (0; −1). Puoi vedere quel punto nel grafico qui sopra. Anche al contrario si fa in fretta. Prendi y = −3x + 5, scegli x = 1 e ottieni y = 2. Il punto (1; 2) e il coefficiente angolare −3 danno y − 2 = −3(x − 1).
Quale forma conviene usare?
Usa la forma che si adatta a quello che sai già.
- L'equazione della retta per un punto, quando hai un punto e il coefficiente angolare, oppure due punti.
- La forma esplicita, quando vuoi leggere il coefficiente angolare e l'ordinata all'origine o disegnare il grafico.
- La forma implicita, Ax + By = C, quando ti servono i punti in cui la retta incontra i due assi.
Molti insegnanti vogliono la risposta finale nella forma y = mx + q. Nulla ti vieta di partire dall'equazione della retta per un punto e trasformarla alla fine.
Da dove viene la formula della retta per un punto?
È la formula del coefficiente angolare, riscritta. Scegli un punto fisso (x₁; y₁) su una retta e un qualsiasi altro punto (x; y) della stessa retta. Il coefficiente angolare tra i due è m = (y − y₁) : (x − x₁). Moltiplica entrambi i membri per (x − x₁) e ottieni y − y₁ = m(x − x₁).
Esempio
Resta sulla retta che passa per (2; 3) con coefficiente angolare 2, e prova il punto (5; 9). Il coefficiente angolare da (2; 3) a (5; 9) è (9 − 3) : (5 − 2) = 6 : 3 = 2. Stesso coefficiente, quindi (5; 9) sta sulla retta. L'equazione dice esattamente questo: 9 − 3 = 2(5 − 2).
Il libro di testo gratuito OpenStax Elementary Algebra 2e (in inglese) ricava la formula nello stesso modo. Poi la usa per le rette passanti per due punti e per le rette parallele e perpendicolari, ed è da lì che riparte la prossima sezione.
Come si usa l'equazione per rette parallele e perpendicolari?
Una retta parallela ha lo stesso coefficiente angolare della retta di partenza. Una retta perpendicolare ha l'antireciproco: capovolgi la frazione e cambi il segno. Un coefficiente 2 diventa −1/2, e −3/4 diventa 4/3. Quando hai il nuovo coefficiente, inseriscilo nell'equazione della retta per un punto insieme al punto dato.
Esempio
Trova la retta che passa per (2; 3) ed è perpendicolare a y = 2x − 1.
- Il coefficiente di partenza è 2, cioè 2/1.
- Capovolgi e cambia il segno: −1/2.
- Equazione per un punto: y − 3 = −1/2(x − 2)
- Forma esplicita: y = −1/2x + 4
Verifica veloce con x = 2: −1/2 · 2 + 4 = 3, che è proprio l'ordinata del nostro punto. Per una parallela che passa per (6; 0), tieni il coefficiente 2: y − 0 = 2(x − 6), cioè y = 2x − 12.
Ogni retta si può scrivere in questa forma?
Quasi tutte. L'eccezione è la retta verticale. Tutti i suoi punti hanno la stessa x, quindi lo spostamento orizzontale è 0, e un coefficiente angolare vorrebbe dire dividere per zero. Una retta verticale che passa per (3; 1) si scrive invece x = 3. Le rette orizzontali non danno nessun problema, perché il loro coefficiente angolare è semplicemente 0.
Esempio
Prendi la retta orizzontale che passa per (1; 4). Con l'equazione per un punto diventa y − 4 = 0(x − 1). Zero per qualsiasi numero fa zero, quindi l'equazione si riduce a y − 4 = 0, cioè y = 4.
Come ci si esercita con l'equazione della retta passante per un punto?
Con le rette si diventa veloci vedendone tante. Nel gioco sulle funzioni lineari combatti con domande sulle rette. Un turno può chiederti il coefficiente angolare da (−2; 2) a (0; −6), e una risposta giusta fa partire il tuo attacco. Questa fa (−6 − 2) : (0 − (−2)) = −8 : 2 = −4.
Il passaggio alla forma esplicita è ogni volta una piccola equazione. Se è lì che rallenti, qualche turno del gioco delle equazioni ti aiuta. Sono le stesse mosse che userai ogni volta che riscrivi una formula.
Anche la lettera del coefficiente angolare cambia da paese a paese. In Italia si usa m, come nei libri inglesi, mentre in altri paesi si trova k oppure a. Qualunque sia la lettera, il numero davanti alla parentesi è il coefficiente angolare, e i numeri dentro le parentesi vengono da un punto della retta.
Un punto e un coefficiente angolare fissano la retta
Un solo punto e un coefficiente angolare determinano completamente una retta, e l'equazione della retta per un punto lo scrive in modo diretto. Sostituisci con attenzione, tieni le parentesi finché i segni non sono a posto e verifica il risultato con un secondo punto. Dopo, per arrivare a y = mx + q bastano due brevi passaggi.
Allena questi adesso