Perché la forma esplicita è così utile
Quando un'equazione è scritta in questa forma, puoi leggere subito la pendenza e il punto di partenza e disegnare la retta in pochi secondi. Qui sotto trovi come leggerla, come ricavarla da due punti o da un'altra forma dell'equazione, e gli errori che capitano più spesso.
Come si trova l'equazione della retta in forma esplicita?
Per trovare l'equazione in forma esplicita servono due dati, il coefficiente angolare m e l'ordinata all'origine q. Il coefficiente angolare si ricava da due punti con m = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁). Poi sostituisci un punto e il coefficiente angolare in y = mx + q e ricavi q. Scrivi il risultato con i tuoi numeri al posto di m e q.
Esempio
Trova la retta passante per i punti (1; 5) e (3; 9).
- Coefficiente angolare: m = (9 − 5) : (3 − 1) = 4 : 2 = 2
- Usa il punto (1; 5): 5 = 2 · 1 + q, quindi q = 3
- Equazione: y = 2x + 3
- Verifica con l'altro punto (3; 9): 2 · 3 + 3 = 9. Funziona.
Questa verifica finale richiede dieci secondi e scova la maggior parte degli errori, quindi vale la pena farne un'abitudine.
E se il coefficiente angolare è una frazione?
Qui le frazioni sono del tutto normali, e se esce una frazione non vuol dire che hai sbagliato. Prendi i punti (4; 0) e (−2; 4). Il coefficiente angolare è (4 − 0) : (−2 − 4) = 4 : (−6) = −2/3. Poi da 0 = −2/3 · 4 + q si ottiene q = 8/3, quindi y = −2/3x + 8/3. Verifica con (−2; 4): 4/3 + 8/3 = 12/3 = 4.
Lascia il coefficiente angolare sotto forma di frazione invece di arrotondarlo a un numero decimale, perché la frazione è esatta e la verifica tornerà perfettamente. Se sono le frazioni a rallentarti, qualche round del gioco delle frazioni rende molto più veloci le frazioni equivalenti e le semplificazioni.
Nel round qui sopra, 7/10 = 70/100, perché numeratore e denominatore vengono moltiplicati entrambi per 10.
Che cosa significano m e q in y = mx + q?
In y = mx + q, m è il coefficiente angolare e q è l'ordinata all'origine. Il coefficiente angolare indica di quanto cambia y quando x aumenta di 1, cioè di quanto sale la retta per ogni unità verso destra. L'ordinata all'origine è il valore di y quando x = 0, cioè il punto (0; q) sull'asse y.
Esempio
In y = 3x − 2, il coefficiente angolare è 3 e l'ordinata all'origine è −2. La retta interseca l'asse y in (0; −2), e ogni passo di 1 verso destra la fa salire di 3. In y = −2x + 4, il coefficiente angolare è −2, quindi la retta scende di 2 per ogni passo verso destra e interseca l'asse y in (0; 4).
Il libro di testo OpenStax College Algebra 2e (in inglese) descrive la pendenza come «quanto sale diviso quanto avanza» e l'ordinata all'origine come il punto in cui il valore in ingresso è zero. Con un coefficiente angolare positivo la retta sale da sinistra a destra, con uno negativo scende, e più il numero è grande (senza considerare il segno), più la retta è ripida.
Un modo concreto per immaginare m e q
Una candela è alta 20 cm e si consuma di 2 cm ogni ora. La sua altezza dopo t ore è h = −2t + 20. Il 20 è il valore di partenza (q) e −2 è di quanto cambia ogni ora (m). Dopo 3 ore è alta 14 cm, e dopo 10 ore si è consumata del tutto. Molti studenti trovano più facile pensare a q come al valore iniziale e a m come alla variazione a ogni passo.
Come si disegna una retta in forma esplicita?
Per disegnare y = mx + q, parti dall'ordinata all'origine, il punto (0; q) sull'asse y. Da lì usa il coefficiente angolare come «quanto sale diviso quanto avanza». Spostati verso destra di quanto avanza e verso l'alto di quanto sale (o verso il basso se il coefficiente è negativo) per trovare un secondo punto. Traccia una retta per i due punti e prolungala.
Esempio
Disegna y = 2x + 1.
- Segna l'ordinata all'origine (0; 1).
- Il coefficiente angolare 2 significa 2/1, quindi vai di 1 verso destra e sali di 2. Arrivi in (1; 3).
- Traccia la retta passante per (0; 1) e (1; 3).
Con un coefficiente angolare come −2/3, vai di 3 verso destra e scendi di 2. Se usi il denominatore come spostamento orizzontale, cadi sempre sui punti della quadrettatura e la retta è più facile da disegnare con precisione.
Come si passa dalla forma implicita alla forma esplicita?
Per portare un'equazione come Ax + By = C in forma esplicita, ricava la y. Sposta il termine con la x dall'altra parte, poi dividi ogni termine per il numero davanti alla y. Il numero davanti alla x è ora il coefficiente angolare, e il numero da solo è l'ordinata all'origine.
Esempio
Trasforma 2x + 3y = 6.
- Sottrai 2x da entrambi i membri: 3y = −2x + 6
- Dividi ogni termine per 3: y = −2/3x + 2
Il coefficiente angolare è −2/3 e l'ordinata all'origine è 2. Una svista frequente è leggere il coefficiente angolare come 2 direttamente in 2x + 3y = 6. I numeri indicano coefficiente angolare e ordinata all'origine solo quando la y è da sola in un membro.
Retta per un punto o forma esplicita?
L'equazione della retta passante per un punto, y − y₁ = m(x − x₁), è comoda quando conosci un punto e il coefficiente angolare, perché puoi scriverla subito. Per il punto (1; 5) e il coefficiente angolare 2 ottieni y − 5 = 2(x − 1). Sviluppa e semplifica, y = 2x − 2 + 5, e torni a y = 2x + 3. Le due forme descrivono la stessa retta.
Quali rette non si possono scrivere in forma esplicita?
Le rette verticali non si possono scrivere in forma esplicita. Tutti i punti di una retta verticale hanno la stessa x, quindi lo spostamento orizzontale è 0 e calcolare il coefficiente angolare vorrebbe dire dividere per zero. Per questo il coefficiente angolare di una retta verticale non è definito. La retta verticale passante per x = 3 si scrive semplicemente x = 3.
Esempio
I punti (3; 1) e (3; 6) stanno su una retta verticale. Il coefficiente angolare sarebbe (6 − 1) : (3 − 3) = 5 : 0, che non ha risultato. Quindi la retta è x = 3. Inoltre una retta verticale non interseca mai l'asse y, a meno che non sia l'asse y stesso, quindi non c'è un'ordinata all'origine da mettere al posto di q.
Le rette orizzontali non danno problemi. I punti (−1; 4) e (5; 4) danno un coefficiente angolare di 0 : 6 = 0, quindi la retta è y = 0x + 4, cioè semplicemente y = 4.
Quali sono gli errori più comuni con la forma esplicita?
La maggior parte degli errori con la forma esplicita sono piccole sviste, non problemi di comprensione. Si scambiano le coordinate di un punto, si sottrae in ordine diverso sopra e sotto nella formula del coefficiente angolare, oppure si leggono m e q prima di aver isolato la y. Verificare l'equazione finale con uno dei punti di partenza le scova quasi tutte.
Rimedi rapidi per ogni svista
Ecco le sviste che si ripresentano di continuo, con un rimedio rapido per ciascuna.
- Confondere x e y in un punto. (5; 7) significa x = 5 e y = 7. Mentre lo leggi, pensa «prima in orizzontale, poi in verticale».
- Cambiare l'ordine della sottrazione. Se sopra fai 9 − 5, sotto fai 3 − 1, con lo stesso punto per primo entrambe le volte.
- Scambiare m e q. In y = 4 + 3x il coefficiente angolare è sempre 3, perché m è il numero che moltiplica la x, ovunque si trovi.
- Perdere un segno meno. In y = −x + 2 il coefficiente angolare è −1, non 1.
- Pensare che una frazione debba essere sbagliata. Coefficienti angolari come 3/4 o −2/3 sono validi quanto 2.
Esercitarsi con la forma esplicita finché non diventa automatica
Si impara a leggere le rette in fretta vedendone tante. Nel gioco delle funzioni lineari ogni attacco è una domanda su una retta, così ti eserciti molto a riconoscere coefficienti angolari e ordinate all'origine senza la sensazione di fare i compiti.
Ricavare q è anche solo una piccola equazione di un passaggio. Se è lì che ti blocchi, il gioco delle equazioni è un buon riscaldamento.
Le lettere cambiano da Paese a Paese. In Italia si scrive y = mx + q, mentre negli Stati Uniti e negli altri Paesi di lingua inglese si scrive y = mx + b, in Francia e in Polonia y = ax + b e in Russia y = kx + b. Qualunque siano le lettere, il numero che moltiplica la x è sempre il coefficiente angolare, e il numero da solo indica dove la retta interseca l'asse y.
Due numeri descrivono ogni retta non verticale
Ogni retta che non sia verticale si può scrivere come y = mx + q, quindi bastano due numeri per descriverla completamente. Il coefficiente angolare dice quanto è inclinata e in quale direzione, e l'ordinata all'origine dice da dove parte. Trova questi due numeri, verifica l'equazione con un punto e il resto viene da sé.
Allena questi adesso