Deviazione standard spiegata in modo semplice, con un esempio passo passo

Come si calcola la deviazione standard passo dopo passo?

Per calcolare la deviazione standard, trova la media, sottraila da ogni valore, eleva al quadrato ogni differenza e somma i quadrati. Dividi questo totale per il numero di valori, e ottieni la varianza. Infine, calcola la radice quadrata della varianza. Il risultato è la deviazione standard, di nuovo nelle unità originali dei dati.

Esempio

Due squadre di 8 giocatori rispondono allo stesso quiz di 10 domande. Prendiamo la squadra B, con i punteggi 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7 e 9.

1. Trova la media. 2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9 = 40, e 40 : 8 = 5
2. Sottrai la media da ogni valore. Si ottiene −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2, 4
3. Eleva al quadrato ogni differenza. Si ottiene 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16
4. Somma i quadrati. 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32
5. Dividi per il numero di valori. 32 : 8 = 4, che è la varianza
6. Calcola la radice quadrata. √4 = 2, quindi la deviazione standard è 2

Lo stesso calcolo, valore per valore, aiuta a non perdere il filo.

• 2 − 5 = −3, e (−3)² = 9
• 4 − 5 = −1, e (−1)² = 1, tre volte
• 5 − 5 = 0, e 0² = 0, due volte
• 7 − 5 = 2, e 2² = 4
• 9 − 5 = 4, e 4² = 16

Nota che le differenze stesse, −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2 e 4, sommate danno 0. Succede sempre, ed è il motivo del passaggio al quadrato, come mostra la prossima sezione. L'ultimo passaggio richiede una radice quadrata, e qualche partita con le radici quadrate ti aiuta a stimarle a mente molto più in fretta.

Qual è la formula della deviazione standard?

La deviazione standard di una popolazione è σ = √(Σ(x − μ)² : N). Qui x è ogni valore, μ è la media, N è il numero di valori e Σ significa "somma tutto". Per un campione preso da un gruppo più grande, dividi per n − 1 invece che per N. Questa versione si indica con s.

Esempio

Se la squadra B è l'intero gruppo che ti interessa, usa N. La varianza è 32 : 8 = 4, e σ = √4 = 2.

Se gli 8 giocatori sono un campione scelto per rappresentare un'intera scuola, usa n − 1. La varianza è 32 : 7 ≈ 4,57, e s = √4,57 ≈ 2,14.

Perché si divide per n − 1 in un campione?

Un campione di solito non include alcuni dei valori più estremi del gruppo completo, quindi la sua dispersione tende a risultare un po' troppo piccola. Dividere per n − 1, un numero leggermente più piccolo, rende il risultato un po' più grande e corregge questo effetto. Con campioni grandi, la differenza tra le due versioni diventa minima.

Calcolatrici e fogli di calcolo offrono spesso entrambe le versioni. Un tasto o una funzione indicati con σ o "popolazione" dividono per N, e quelli indicati con s o "campione" dividono per n − 1. Controlla quale si aspetta l'insegnante o il libro di testo, perché entrambe sono corrette nella loro situazione.

Perché si elevano al quadrato le differenze nella deviazione standard?

Le differenze dalla media sommate danno sempre zero, perché i valori sopra la media bilanciano quelli sotto. Il quadrato rende ogni differenza positiva, così non si annullano più. La radice quadrata finale riporta poi il risultato alle unità originali, quindi una dispersione in punti si misura in punti.

Esempio

Per la squadra B, le differenze erano −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2 e 4. Il loro totale è 0, quindi anche la loro media semplice è 0, e non dice nulla sulla dispersione. Dopo il quadrato diventano 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4 e 16, che sommati danno 32.

Il quadrato dà anche più peso ai valori lontani. Il NIST Engineering Statistics Handbook ne offre un esempio chiaro. Un punto a 2 unità dalla media aggiunge 4 al totale, mentre un punto a 10 unità di distanza aggiunge 100. Per questo la deviazione standard è sensibile a un singolo valore estremo, come un punteggio di 0 in un gruppo che per il resto è andato bene.

Esiste una misura più semplice che salta il quadrato. Lo scarto medio assoluto prende la distanza di ogni valore dalla media, ignora i segni meno e ne fa la media. Per la squadra B, le distanze 3, 1, 1, 1, 0, 0, 2 e 4 sommate danno 12, e 12 : 8 = 1,5. È più facile da calcolare a mano, ma la deviazione standard è la misura su cui si basano la maggior parte degli strumenti e delle formule statistiche.

Quando una deviazione standard è alta o bassa?

Non esiste un numero unico che indichi una deviazione standard alta o bassa. Dipende dalla grandezza dei valori e da cosa misurano. Una deviazione standard di 2 punti è grande per punteggi di un quiz su 10, ma minima per punteggi su 1.000. Confrontala con la media e con l'intervallo dei valori possibili.

Esempio

Ora confronta la squadra B con la squadra A dello stesso quiz.

• Squadra A: 3, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 7
• Squadra B: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9

Entrambe le squadre hanno una media di 5, perché ogni lista ha somma 40 e 40 : 8 = 5. Ma i punteggi della squadra A si raccolgono intorno a 5, mentre quelli della squadra B sono sparsi da 2 a 9. La deviazione standard della squadra A è di 1 punto, quella della squadra B di 2 punti.

Con la sola media queste squadre sembrerebbero identiche. La deviazione standard mostra che la squadra A è molto costante, mentre la squadra B ha alcuni giocatori molto avanti e altri molto indietro.

Un altro esempio

Due panifici vendono entrambi pagnotte con un peso medio di 500 g. Nel primo la deviazione standard è di 5 g, quindi quasi ogni pagnotta pesa circa 500 g. Nel secondo è di 40 g, quindi alcune pagnotte sono decisamente più leggere e altre più pesanti. Le medie coincidono, ma il primo panificio è molto più costante.

Una deviazione standard bassa non è sempre migliore. In classe, una deviazione standard alta nei risultati di una verifica può semplicemente mostrare che i bambini sono a livelli molto diversi, cosa utile da sapere per un insegnante. In una fabbrica, una deviazione standard bassa di solito significa che le macchine sono affidabili. Il numero descrive la dispersione, e il contesto decide se quella dispersione è una buona notizia.

Una deviazione standard non può mai essere negativa, perché viene da una radice quadrata di numeri elevati al quadrato. È 0 solo quando tutti i valori sono uguali.

Che cosa significa la regola 68-95-99,7?

Per i dati che seguono una distribuzione normale, la nota curva a campana, circa il 68% dei valori si trova entro una deviazione standard dalla media. Circa il 95% si trova entro due deviazioni standard, e circa il 99,7% entro tre. Si chiama regola empirica, e trasforma una deviazione standard in un'immagine rapida dei dati.

Esempio

Supponi che i tempi di una corsa di 1 km in un grande gruppo seguano una curva a campana con media di 6 minuti e deviazione standard di 1 minuto. Allora circa il 68% dei corridori arriva tra 5 e 7 minuti. Circa il 95% arriva tra 4 e 8 minuti, e quasi tutti arrivano tra 3 e 9 minuti.

La regola funziona bene solo con dati a forma di campana. I gruppi piccoli, come le due squadre del quiz, raramente la seguono da vicino. Per dati asimmetrici, come i redditi o i tempi di attesa, media e deviazione standard possono dare un'immagine fuorviante, e la mediana e il campo di variazione spesso descrivono meglio i dati.

La media è il punto di partenza di ogni deviazione standard, quindi è utile calcolare le medie in fretta. Nel gioco di statistica, ogni attacco in un combattimento è una domanda di statistica, quindi trovare una media a mente diventa parte della vittoria di un round. Round brevi e frequenti sviluppano questa velocità meglio di una lunga sessione.

La deviazione standard è la distanza tipica dalla media

La deviazione standard risponde a una sola domanda. Quanto è lontano dalla media un valore tipico? Usa questi passaggi ogni volta che devi calcolarla a mano.

1. Trova la media.
2. Sottrai la media da ogni valore.
3. Eleva al quadrato ogni differenza.
4. Somma i quadrati.
5. Dividi per N per un'intera popolazione, o per n − 1 per un campione.
6. Calcola la radice quadrata.

Un risultato piccolo significa che i valori sono vicini tra loro, e un risultato grande che sono sparsi. Leggilo sempre accanto alla media e alle unità di misura, perché una dispersione ha senso solo nel suo contesto.