I numeri interi sulla retta dei numeri
Sulla retta dei numeri, i numeri interi sono i punti, tutti alla stessa distanza, su cui arrivi contando in avanti o all'indietro a partire da 0. Numeri come 1/2, 3,5 o √2 stanno negli spazi tra un intero e l'altro, quindi non sono interi. Ecco come distinguerli, perché anche lo zero conta e come funzionano davvero le regole dei segni.
Come si capisce se un numero è intero?
Un numero è intero se puoi scriverlo senza frazione e senza parte decimale. Può essere positivo, negativo o zero. Il libro di testo OpenStax Prealgebra 2e (in inglese) lo riassume in modo semplice: gli interi sono i numeri che usiamo per contare, i loro opposti e lo zero. Quindi 7, −7 e 0 sono interi, mentre 7,5 no.
Esempio
Prova con queste verifiche veloci.
- −12 è intero, perché è l'opposto di 12, un numero che usiamo per contare.
- 0 è intero.
- 3,5 non è intero, perché ha una parte decimale.
- 1/2 non è intero.
- 8/2 è intero, perché 8/2 = 4.
- √9 è intero, perché √9 = 3.
- √2 non è intero, perché vale circa 1,41.
Gli ultimi esempi insegnano una buona abitudine. Prima calcola il valore, poi decidi. Un numero può sembrare una frazione o una radice e risultare comunque intero.
Lo 0 è un numero intero?
Sì, lo 0 è un numero intero. Si trova al centro della retta dei numeri, tra gli interi negativi e quelli positivi. Lo zero non è né positivo né negativo, come dice espressamente OpenStax. È però pari, perché 0 = 2 × 0, quindi diviso per 2 non dà resto.
I numeri negativi sono interi?
I numeri negativi sono interi solo se non hanno frazione né parte decimale. −5 e −100 sono interi. −2,5 e −3/4 sono negativi, ma non sono interi. La stessa prova vale per qualsiasi numero, qualunque sia il suo segno.
Che differenza c'è tra numeri interi e numeri naturali?
I numeri naturali sono 0, 1, 2, 3 e così via, senza negativi. A scuola, in Italia, lo 0 di solito è compreso tra i naturali. I numeri interi, chiamati anche interi relativi, contengono tutti i naturali e in più i loro opposti, −1, −2, −3 e così via. Quindi −4 è un numero intero ma non è naturale. Alcuni libri fanno partire i naturali da 1, quindi controlla quale definizione usa il libro di testo di tuo figlio.
Esempio
Ecco come gli insiemi numerici principali si inseriscono uno dentro l'altro.
- Numeri naturali senza lo zero: 1, 2, 3, 4, …
- Numeri naturali: 0, 1, 2, 3, 4, …
- Numeri interi relativi: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …
- Numeri razionali: tutti i numeri che si possono scrivere come frazione di due interi, come 1/2, −3/4 e 7 (che è 7/1)
I matematici indicano l'insieme dei numeri interi con ℤ. La lettera viene dalla parola tedesca Zahlen, che significa "numeri". I naturali si indicano con ℕ. Come hai visto, nemmeno su questi c'è pieno accordo, perché alcuni libri partono da 0 e altri da 1.
Dove si incontrano i numeri interi nella vita reale?
I numeri interi compaiono ogni volta che contiamo in su e in giù a partire da un punto zero. Le temperature sotto zero, i piani sotto il livello della strada, le profondità sotto il livello del mare e la differenza reti di una squadra di calcio sono interi che possono essere negativi. In tutti questi casi, lo 0 è un punto di riferimento, non "niente".
Esempio
Al mattino ci sono −4 °C e all'ora di pranzo la temperatura è salita di 7 gradi. Parti da −4 e sali di 7 passi sulla retta dei numeri: −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3. A mezzogiorno ci sono 3 °C, quindi −4 + 7 = 3.
In ascensore il piano terra è spesso lo 0, il garage può essere al piano −2 e il quinto piano è il 5. Per andare dal −2 al 5 percorri 7 piani, perché 5 − (−2) = 7.
Come si sommano e si sottraggono i numeri interi?
Per sommare gli interi, immagina una retta dei numeri. Sommare un numero positivo ti sposta verso destra, sommare un numero negativo ti sposta verso sinistra. Sottrarre è il contrario di sommare, quindi sottrarre un numero negativo ti sposta verso destra. Per questo, togliendo un negativo, il risultato diventa più grande.
Esempio
Calcola −3 + 5. Parti da −3 e fai 5 passi verso destra. Passi per −2, −1, 0 e 1 e ti fermi a 2. Quindi −3 + 5 = 2.
Qualche altro esercizio.
- −6 + 2 = −4, perché 2 passi a destra partendo da −6 portano a −4.
- −2 − 5 = −7, perché 5 passi a sinistra partendo da −2 portano a −7.
- 4 − (−3) = 7, perché sottrarre −3 equivale a sommare 3.
Perché sottrarre un negativo dà un risultato più grande?
Sottrarre significa chiedersi "qual è la differenza?". La distanza tra 4 e −3 sulla retta dei numeri è di 7 passi, quindi 4 − (−3) = 7. OpenStax scrive la regola generale come a − (−b) = a + b. Molti bambini si bloccano su −5 + 4 perché vedono un segno più e si aspettano un numero più grande. Partendo da −5 e spostandosi di 4 verso destra si vede che il risultato è −1.
Perché meno per meno fa più?
Quando moltiplichi due interi, il risultato è positivo se i segni sono uguali e negativo se sono diversi. Un negativo per un negativo dà un positivo per via di una regolarità. Ogni volta che il primo numero scende di 1, il risultato cambia della stessa quantità, e questa regolarità continua solo se il risultato diventa positivo.
Esempio
Guarda cosa succede a 3 × (−2) quando il primo numero scende di 1 alla volta.
- 3 × (−2) = −6
- 2 × (−2) = −4
- 1 × (−2) = −2
- 0 × (−2) = 0
- (−1) × (−2) = 2
- (−2) × (−2) = 4
Ogni risultato è 2 in più del precedente. Perché la regolarità continui dopo lo zero, (−1) × (−2) deve fare 2. Un altro modo di vederlo è che moltiplicare per −1 ti fa fare dietrofront sulla retta dei numeri. Se fai dietrofront due volte, torni a guardare nella stessa direzione.
La divisione tra interi segue la stessa regola dei segni?
Sì. (−12) : 3 = −4 e (−12) : (−3) = 4, con la stessa regola dei segni. C'è però una differenza. Sommare, sottrarre o moltiplicare due interi dà sempre un intero, dividere invece no. 8 : 2 = 4 è un intero, mentre 7 : 2 = 3,5 non lo è.
Come si diventa più veloci con i numeri interi?
La velocità con gli interi arriva facendo tanti piccoli calcoli, finché la retta dei numeri non ti resta in testa. Nel gioco dei numeri negativi, ogni attacco è un calcolo veloce con i numeri negativi, così i bambini si esercitano con le regole dei segni mentre cercano di vincere il combattimento.
Nel round qui sopra, sottrarre −17 equivale a sommare 17, quindi −1 − (−17) = −1 + 17 = 16.
La distanza di un numero dallo zero si chiama valore assoluto, quindi il valore assoluto di −5 è 5. È il concetto che la maggior parte degli studenti incontra dopo gli interi, e il gioco del valore assoluto lo trasforma in una serie di round veloci.
I numeri interi sono quelli che raggiungi contando in avanti o all'indietro
Ogni numero intero è un passo che puoi raggiungere contando da 0, verso destra per i positivi e verso sinistra per i negativi. Lo zero sta al centro e fa parte anche lui del gruppo. Se un bambino riesce a immaginare questa retta dei numeri, le regole per sommare, sottrarre e moltiplicare smettono di essere regole da imparare a memoria e cominciano ad avere senso.
Allena questi adesso