ファイ、評判の高い数
数学者はこの数をギリシャ文字のφ（ファイ）で表します。ひまわりや有名な建築物、美しい顔に隠れていると言われることの多い数です。その評判には当たっているものもあれば、そうでないものもたくさんあります。まずは数学から始めて、そのあと実際にどこに現れるのかを正直に見ていきましょう。
黄金比はどうやって計算するの？
黄金比はφ = (1 + √5) ÷ 2という式で計算します。5の平方根はおよそ2.236なので、1を足して2で割ると、およそ1.618になります。φは無理数なので、小数はどこまでも続き、くり返しもしません。日常のほとんどの場面では、1.618で十分です。
例
電卓を使って3ステップで計算してみましょう。
- √5 ≈ 2.236
- 1 + 2.236 = 3.236
- 3.236 ÷ 2 = 1.618
つまり、φ ≈ 1.618です。もっと詳しく知りたいときは、小数第10位までで φ = 1.6180339887 です。
(1 + √5) ÷ 2はどこから来るの？
1本の線分を、長い部分aと短い部分bに分けます。線分全体と長い部分の比が、長い部分と短い部分の比に等しいとき、その分け方を黄金分割といいます。式で書くと(a + b) ÷ a = a ÷ bです。この共通の値がφです。
今度は短い部分を1にしてみます。すると長い部分はφです。きまりは(φ + 1) ÷ φ = φになります。両辺にφをかけるとφ² = φ + 1、つまりφ² − φ − 1 = 0です。これは2次方程式で、その正の解が(1 + √5) ÷ 2です。ブリタニカ百科事典（英語）でも、同じように式を変形してx² − x − 1 = 0を導いています。
1.618、0.618、2.618はなぜ似ているの？
φ² = φ + 1なので、φを2乗すると1が足されるだけです。だからφ² ≈ 2.618になります。同じ式をφで割ると φ = 1 + 1 ÷ φ となり、1 ÷ φ = φ − 1 ≈ 0.618だとわかります。こうして、3つの違う数が同じ小数部分をもつのです。
黄金比はなぜ特別なの？
黄金比が特別なのは、2乗するとその数に1を足した値になり、逆数をとるとその数から1を引いた値になる、ただ一つの正の数だからです。さらに、図形と数を結びつけてもいます。線分をバランスよく分けるとき、正五角形をかくとき、となり合うフィボナッチ数を割り算するとき、どれにも同じ値が現れます。
例
1辺が1の正五角形では、対角線（となり合わない頂点どうしを結ぶ線分）の長さはどれもちょうどφ、およそ1.618です。そのため、正五角形の中にかいた星形（五芒星）は黄金比だらけです。星のそれぞれの先は、ほかの線によって黄金比に分けられています。
この考え方はとても古いものです。ブリタニカによると、起源はユークリッドにさかのぼり、ユークリッドは『原論』の中でこれを「外中比」による分割と呼びました。
黄金比と円周率は同じもの？
違います。円周率（π ≈ 3.14）は円周の長さと直径の比で、黄金比（φ ≈ 1.618）は線分の分け方から生まれる数です。どちらも小数が限りなく続く無理数なので、混同されやすいのでしょう。値も違えば、もとになる図形も違います。
黄金比とフィボナッチ数列は同じもの？
黄金比とフィボナッチ数列は同じものではありませんが、深く結びついています。フィボナッチ数列は、どの数も前の2つの数の和になっている整数の並びです。フィボナッチ数をそれぞれ1つ前の数で割ると、答えはだんだん黄金比に近づいていきます。
例
フィボナッチ数列のとなり合う数を割ってみましょう。
- 5 ÷ 3 ≈ 1.667
- 8 ÷ 5 = 1.6
- 13 ÷ 8 = 1.625
- 21 ÷ 13 ≈ 1.615
- 34 ÷ 21 ≈ 1.619
- 89 ÷ 55 ≈ 1.618
答えは1.618より大きくなったり小さくなったりしながら、すぐに落ち着いていきます。144 ÷ 89では、もう小数第3位までφと一致します。ただの割り算から規則性が浮かび上がるのが見えるので、子どもと電卓でやってみるのにぴったりの活動です。
数の並びにひそむきまりを見つける力は、フィボナッチ数列だけにとどまりません。数列ゲームでは、攻撃のたびに1つの数が抜けた数列が出され、相手より先にきまりを見つけなければなりません。
画像のラウンドでは、どの数も前の数より5大きいので、抜けている数は24です。
黄金長方形はどうやってかくの？
黄金長方形は、長い辺が短い辺のおよそ1.618倍になっている長方形です。かくときは、短い辺に1.618をかけるか、長い辺を1.618で割って短い辺を求めます。正方形から始めれば、小数をまったく測らずに、コンパスで正確に作図することもできます。
例
短い辺が10 cmなら、長い辺は10 × 1.618 ≈ 16.2 cmです。幅1000ピクセルのページを黄金比で分けたいなら、φで割ります。すると、およそ618ピクセルのメインの列と、およそ382ピクセルのサイドの列になります。
コンパスで作図するには、次の手順に従います。
- 1辺が1の正方形をかきます（たとえば1辺10 cm）。
- 下の辺の中点に印をつけます。
- コンパスの針をその中点に置き、反対側の上の頂点まで開きます。この長さは√5 ÷ 2、およそ1.118です。
- コンパスを回して、下の辺を延ばした線と交わらせます。新しい長さは0.5 + 1.118 = 1.618です。
- 長方形を完成させます。辺の長さは1とφです。
黄金長方形から正方形を切り取ると、残った部分もまた黄金長方形になります。これをくり返し、それぞれの正方形に四分円をかいていくと、黄金比の図でよく見かけるらせんができます。こうした図形の問題は、図形や角度、面積がすばやいチャレンジになる図形ゲームでも楽しめます。
黄金比は自然のどこに現れるの？
自然界でいちばんはっきりした例は、多くの植物の葉や種の並び方です。ひまわりの花の中心では、新しい種が1つ前の種からほぼ同じ角度、およそ137.5°ずつ回転した位置にできます。この黄金角によって種はすき間なくぎっしり詰まり、らせんの本数はフィボナッチ数になることがよくあります。
例
黄金角はφから直接求められます。1回転をφ²で割ると、360° ÷ 2.618 ≈ 137.5°になります。別の見方をすると、この回転は円をおよそ222.5°と137.5°の2つの弧に、黄金比で分けています。
ノッティンガム大学の研究者による2022年のレビュー論文The Golden Ratio in Nature（英語）は、さまざまなスケールの例を集め、この比には「科学や芸術の多くの分野に現れる傾向」があると述べています。「傾向」という言葉がぴったりです。ほかのパターンに従う植物もたくさんあるので、自然の法則というわけではありません。
オウムガイの殻は黄金らせん？
たいていは違います。オウムガイは対数らせんにそって成長し、大きくなっても形が変わりません。それだけでも十分に美しいものです。実際の殻を測ると、成長の比はφとは違う値になることがほとんどです。オウムガイの写真に重ねた黄金らせんは、きれいな絵ではあっても、測定ではありません。
黄金比は本当に芸術や建物、顔にあるの？
ほとんどの場合、ありません。パルテノン神殿や有名な絵画、魅力的な顔が黄金比に従っているという話は、きちんと測ると成り立ちません。2022年のThe Conversation（英語）の記事で、ニューサウスウェールズ大学（UNSW）の数学者トーマス・ブリッツは、古代ギリシャの芸術や建築にφが見られることはごくまれだと説明しています。
例
パルテノン神殿については、正面が黄金長方形にぴったり収まるとよく言われます。ブリッツは、正確に計算するとこの話は誤りだとわかると書いています。有名人の顔を採点する「黄金比の顔診断」も同じです。もとになっている顔のマスクはすでに否定されていて、顔が美しいかどうかを決める数などありません。
この神話が生き残るよくある理由は、都合のよい例だけを選んでしまうことです。どこを測るか自由に選べるなら、ほとんどどんな建物や顔にも、比が1.6に近くなる長さの組が見つかります。3 ÷ 2 = 1.5や16 ÷ 9 ≈ 1.78のような比も心地よく、画面や写真ではこちらのほうがずっとよく使われています。公平に調べるには、たくさんの物を測り、当たった例だけでなく外れた例も数えることです。
芸術家やデザイナーは黄金比をわざと使っているの？
使う人もいます。デザイナーはレイアウトや額縁、文字の大きさを決める出発点として1.618を使うことがあります。均等すぎず、偏りすぎない分け方になるからです。それはデザイン上の選択であって、美しいものすべてに黄金比が隠れている証拠ではありません。ほかの整った比率と同じように働くだけです。
黄金比は美のルールではなく本物の数学
黄金比は(1 + √5) ÷ 2 ≈ 1.618という正確な数で、数学者を思わず笑顔にする性質をもっています。2乗すると1が足され、1をφで割ると1が引かれ、フィボナッチ数はφに近づいていきます。多くの植物の種のらせんを形づくっている一方で、顔や有名な建物にまつわる話の多くは、見つけたい気持ちが先に立った測定です。
子どもと一緒に探るなら、手を動かすのがいちばんです。電卓でフィボナッチ数を割ったり、コンパスで黄金長方形をかいたり、松ぼっくりのらせんを数えたりしてみましょう。どれも本物の規則性を見せてくれて、神話がなくても十分におもしろいものです。