Fi, tallet med et stort rykte
Matematikere skriver det med den greske bokstaven φ (fi), og tallet har ord på seg for å gjemme seg i solsikker, kjente bygninger og vakre ansikter. Noe av ryktet er fortjent, mye av det er det ikke. Her kommer matematikken først, og deretter den ærlige versjonen av hvor det faktisk dukker opp.
Hvordan regner man ut det gylne snitt?
Det gylne snitt regnes ut med formelen φ = (1 + √5) : 2. Kvadratroten av 5 er omtrent 2,236, så du legger til 1, deler på 2 og får omtrent 1,618. Desimalene tar aldri slutt og gjentar seg aldri, fordi φ er et irrasjonalt tall. Til de fleste hverdagsformål er 1,618 nøyaktig nok.
Eksempel
Regn det ut på kalkulatoren i tre steg.
- √5 ≈ 2,236
- 1 + 2,236 = 3,236
- 3,236 : 2 = 1,618
Altså er φ ≈ 1,618. Trenger du mer presisjon, er φ = 1,6180339887 med ti desimaler.
Hvor kommer (1 + √5) : 2 fra?
Ta en linje og del den i en lang del a og en kort del b. Delingen er gyllen når hele linjen forholder seg til den lange delen på samme måte som den lange delen forholder seg til den korte. Med symboler blir det (a + b) : a = a : b. Denne felles verdien er φ.
La nå den korte delen være 1, slik at den lange delen er φ. Regelen blir (φ + 1) : φ = φ. Gang begge sider med φ, og du får φ² = φ + 1, eller φ² − φ − 1 = 0. Det er en andregradslikning, og den positive løsningen er (1 + √5) : 2. Britannica (på engelsk) beskriver den samme omformingen til x² − x − 1 = 0.
Hvorfor ligner 1,618, 0,618 og 2,618 så mye på hverandre?
Fordi φ² = φ + 1, legger du bare til 1 når du kvadrerer φ. Derfor er φ² ≈ 2,618. Deler du den samme likningen på φ, får du φ = 1 + 1 : φ, som betyr at 1 : φ = φ − 1 ≈ 0,618. Derfor har tre ulike tall de samme desimalene.
Hvorfor er det gylne snitt så spesielt?
Det gylne snitt er spesielt fordi det er det eneste positive tallet der kvadratet er tallet selv pluss én, og der den omvendte verdien er tallet selv minus én. Det binder også sammen geometri og telling. Den samme verdien dukker opp når du deler en linje på en balansert måte, når du tegner en regulær femkant og når du deler Fibonacci-tall som står ved siden av hverandre.
Eksempel
I en regulær femkant med sider på 1 er hver diagonal (linjen fra ett hjørne til et hjørne som ikke er nabo) nøyaktig φ lang, omtrent 1,618. Derfor er den femtakkede stjernen tegnet inni en femkant full av gylne snitt. Hver stjernetakk blir delt av de andre linjene i det gylne forholdet.
Ideen er veldig gammel. Britannica fører den tilbake til Euklid, som i Elementene kalte det deling i «ytre og midtre forhold».
Er det gylne snitt det samme som pi?
Nei. Pi (π ≈ 3,14) er forholdet mellom omkretsen og diameteren i en sirkel, mens det gylne snitt (φ ≈ 1,618) kommer fra å dele en linje. Begge er irrasjonale tall med uendelig mange desimaler, og det er nok derfor folk blander dem. De har ulike verdier og kommer fra ulike figurer.
Er det gylne snitt og Fibonacci-tallene det samme?
Det gylne snitt og Fibonacci-følgen er ikke det samme, men de henger tett sammen. Fibonacci-følgen er en rekke med hele tall der hvert tall er summen av de to foregående. Deler du hvert Fibonacci-tall på tallet før, kommer svarene stadig nærmere det gylne snitt.
Eksempel
Ta tall som står ved siden av hverandre i Fibonacci-følgen, og del.
- 5 : 3 ≈ 1,667
- 8 : 5 = 1,6
- 13 : 8 = 1,625
- 21 : 13 ≈ 1,615
- 34 : 21 ≈ 1,619
- 89 : 55 ≈ 1,618
Svarene hopper over og under 1,618 og stabiliserer seg raskt. Ved 144 : 89 stemmer resultatet allerede med φ på tre desimaler. Dette er en fin kalkulatoraktivitet for barn, fordi de ser et mønster vokse fram av helt vanlig divisjon.
Å finne regelen bak en tallrekke er en ferdighet som går langt utover Fibonacci. I tallfølgespillet er hvert angrep en tallfølge der ett tall mangler, og du må finne regelen før motstanderen gjør det.
I runden på bildet er hvert tall 5 mer enn tallet før, så tallet som mangler, er 24.
Hvordan tegner man et gyllent rektangel?
Et gyllent rektangel har en lang side som er omtrent 1,618 ganger den korte siden. For å tegne et, ganger du den korte siden med 1,618, eller deler den lange siden på 1,618 for å finne den korte. Du kan også konstruere det nøyaktig med passer, med et kvadrat som utgangspunkt, uten å måle en eneste desimal.
Eksempel
Er den korte siden 10 cm, blir den lange siden 10 · 1,618 ≈ 16,2 cm. Er en nettside 1000 piksler bred og du vil ha en gyllen deling, deler du på φ. Da får du en hovedkolonne på omtrent 618 piksler og en sidekolonne på omtrent 382 piksler.
Følg disse stegene for å konstruere det med passer.
- Tegn et kvadrat med sider på 1 (for eksempel 1 desimeter).
- Merk av midtpunktet på den nederste siden.
- Sett passerspissen i midtpunktet og åpne passeren til det øverste hjørnet på motsatt side. Den avstanden er √5 : 2, omtrent 1,118.
- Slå en bue ned til forlengelsen av den nederste siden. Den nye lengden er 0,5 + 1,118 = 1,618.
- Fullfør rektangelet. Sidene er 1 og φ.
Kutter du kvadratet bort fra et gyllent rektangel, er biten som blir igjen, et nytt gyllent rektangel. Gjenta dette og tegn en kvartsirkel i hvert kvadrat, så får du spiralen som ofte vises på bilder av det gylne snitt. Slik geometri er også en del av geometrispillet, der figurer, vinkler og arealer blir til raske utfordringer.
Hvor finner man det gylne snitt i naturen?
Det tydeligste eksempelet i naturen er måten mange planter plasserer blader og frø på. Hvert nytt frø i en solsikke vokser fram med omtrent samme vridning fra det forrige, rundt 137,5°. Denne gylne vinkelen pakker frøene tett uten hull, og den lager spiraler der antallet ofte er et Fibonacci-tall.
Eksempel
Den gylne vinkelen kommer rett fra φ. Del en hel omdreining på φ², og du får 360° : 2,618 ≈ 137,5°. En annen måte å se det på er at vridningen deler sirkelen i to buer, på omtrent 222,5° og 137,5°, i det gylne forholdet.
En oversiktsartikkel fra 2022 av forskere ved University of Nottingham, The Golden Ratio in Nature (på engelsk), samler eksempler på mange ulike skalaer og beskriver forholdets «tendens til å dukke opp i mange ulike vitenskapelige og kunstneriske felt». Tendens er det riktige ordet. Mange planter følger andre mønstre, så det er ingen naturlov.
Er nautilusskallet en gyllen spiral?
Vanligvis ikke. Nautilusen vokser i en logaritmisk spiral, som beholder formen mens den blir større, og det er vakkert i seg selv. Målinger av ekte skall gir som regel et vekstforhold som er forskjellig fra φ. En gyllen spiral tegnet oppå et bilde av en nautilus er et fint bilde, ikke en måling.
Finnes det gylne snitt virkelig i kunst, bygninger og ansikter?
Stort sett nei. Påstander om at Parthenon, berømte malerier eller pene ansikter følger det gylne snitt, holder ikke når man måler nøye. I en artikkel fra 2022 i The Conversation (på engelsk) forklarer matematikeren Thomas Britz ved UNSW at φ svært sjelden finnes i gammel gresk kunst og arkitektur.
Eksempel
Den populære påstanden om Parthenon er at fasaden passer inn i et gyllent rektangel. Britz skriver at nøyaktige beregninger viser at påstanden er feil. Det samme gjelder «gyllent snitt-tester» som gir kjendisansikter poeng. Ansiktsmasken de bygger på, er avkreftet, og det finnes ikke ett enkelt tall som avgjør om et ansikt er vakkert.
En vanlig grunn til at myten lever videre, er at man bare plukker ut eksemplene som passer. Nesten alle bygninger eller ansikter har et par lengder der forholdet er nær 1,6, særlig hvis du kan velge hvor du måler. Forhold som 3 : 2 = 1,5 eller 16 : 9 ≈ 1,78 er også behagelige og mye vanligere på skjermer og bilder. En rettferdig test sjekker mange gjenstander og teller bommene like mye som treffene.
Bruker kunstnere og designere det gylne snitt med vilje?
Noen gjør det. Designere bruker av og til 1,618 som utgangspunkt for oppsett, bilderammer eller skriftstørrelser, fordi det gir en deling som verken er for jevn eller for skjev. Det er et designvalg, ikke et bevis på at forholdet skjuler seg i alt som er vakkert. Det fungerer på samme måte som andre harmoniske proporsjoner.
Det gylne snitt er ekte matematikk, ikke en skønnhetsregel
Det gylne snitt er et presist tall, (1 + √5) : 2 ≈ 1,618, med egenskaper som får matematikere til å smile. Kvadrerer du det, legges 1 til, deler du 1 på det, trekkes 1 fra, og Fibonacci-tallene nærmer seg det. Det former frøspiralene i mange planter, mens de fleste historiene om ansikter og kjente bygninger er målinger gjort med ønsketenkning.
En god måte å utforske det på sammen med et barn er å gjøre det praktisk. Del Fibonacci-tall på kalkulatoren, tegn et gyllent rektangel med passer eller tell spiralene på en kongle. Hver aktivitet viser et ekte mønster, og ingen av dem trenger myter for å være spennende.