Phi, liczba o wielkiej sławie
Matematycy zapisują ją grecką literą φ (fi) i słynie z tego, że ukrywa się w słonecznikach, znanych budowlach i pięknych twarzach. Część tej sławy jest zasłużona, a spora część nie. Najpierw matematyka, potem uczciwa odpowiedź na pytanie, gdzie złota proporcja naprawdę się pojawia.
Jak obliczyć złoty podział?
Złoty podział oblicza się ze wzoru φ = (1 + √5) : 2. Pierwiastek z 5 to około 2,236, więc dodajesz 1, dzielisz przez 2 i otrzymujesz około 1,618. Cyfry po przecinku nigdy się nie kończą i nigdy się nie powtarzają, bo φ jest liczbą niewymierną. W większości codziennych zastosowań 1,618 w zupełności wystarcza.
Przykład
Policz to na kalkulatorze w trzech krokach.
- √5 ≈ 2,236
- 1 + 2,236 = 3,236
- 3,236 : 2 = 1,618
Zatem φ ≈ 1,618. Jeśli potrzebujesz większej dokładności, φ = 1,6180339887 z dokładnością do dziesięciu miejsc po przecinku.
Skąd się bierze wzór na φ?
Weź odcinek i podziel go na dłuższą część a i krótszą część b. Podział jest złoty, gdy cały odcinek ma się do dłuższej części tak samo, jak dłuższa część do krótszej. Symbolicznie (a + b) : a = a : b. Ta wspólna wartość to φ.
Przyjmij teraz, że krótsza część ma długość 1, więc dłuższa ma długość φ. Reguła przyjmuje postać (φ + 1) : φ = φ. Pomnóż obie strony przez φ, a otrzymasz φ² = φ + 1, czyli φ² − φ − 1 = 0. To równanie kwadratowe, a jego dodatnie rozwiązanie to (1 + √5) : 2. Britannica (po angielsku) opisuje to samo przekształcenie do postaci x² − x − 1 = 0.
Dlaczego 1,618, 0,618 i 2,618 są do siebie tak podobne?
Ponieważ φ² = φ + 1, podniesienie φ do kwadratu po prostu dodaje 1. Stąd φ² ≈ 2,618. Jeśli podzielisz to samo równanie przez φ, dostaniesz φ = 1 + 1 : φ, co oznacza, że 1 : φ = φ − 1 ≈ 0,618. Dlatego trzy różne liczby mają te same cyfry po przecinku.
Dlaczego złoty podział jest tak wyjątkowy?
Złoty podział jest wyjątkowy, bo φ to jedyna liczba dodatnia, której kwadrat jest równy tej liczbie powiększonej o jeden, a odwrotność tej liczbie pomniejszonej o jeden. Łączy też geometrię z liczeniem. Ta sama wartość pojawia się, gdy dzielisz odcinek w zrównoważony sposób, gdy rysujesz pięciokąt foremny i gdy dzielisz przez siebie sąsiednie liczby Fibonacciego.
Przykład
W pięciokącie foremnym o boku 1 każda przekątna (odcinek łączący wierzchołek z wierzchołkiem niesąsiednim) ma długość dokładnie φ, czyli około 1,618. Dlatego pięcioramienna gwiazda wpisana w pięciokąt, pentagram, jest pełna złotych proporcji. Każde ramię gwiazdy jest przecięte przez pozostałe linie w złotym stosunku.
To bardzo stara idea. Britannica wywodzi ją od Euklidesa, który w swoich Elementach nazwał ją podziałem "w stosunku skrajnym i średnim".
Czy złoty podział to to samo co liczba pi?
Nie. Pi (π ≈ 3,14) to stosunek obwodu koła do jego średnicy, a złoty podział (φ ≈ 1,618) bierze się z podziału odcinka. Obie są liczbami niewymiernymi z nieskończonym rozwinięciem dziesiętnym i pewnie dlatego się je myli. Mają różne wartości i pochodzą z różnych figur.
Czy złoty podział i ciąg Fibonacciego to to samo?
Złoty podział i ciąg Fibonacciego to nie to samo, ale są ze sobą ściśle powiązane. Ciąg Fibonacciego to lista liczb naturalnych, w której każda liczba jest sumą dwóch poprzednich. Jeśli podzielisz każdą liczbę Fibonacciego przez poprzednią, wyniki będą coraz bliższe złotej proporcji.
Przykład
Weź sąsiednie liczby z ciągu Fibonacciego i podziel je.
- 5 : 3 ≈ 1,667
- 8 : 5 = 1,6
- 13 : 8 = 1,625
- 21 : 13 ≈ 1,615
- 34 : 21 ≈ 1,619
- 89 : 55 ≈ 1,618
Wyniki skaczą raz powyżej, raz poniżej 1,618 i szybko się stabilizują. Przy 144 : 89 wynik zgadza się już z φ do trzech miejsc po przecinku. To fajne ćwiczenie z kalkulatorem dla dzieci, bo widzą, jak ze zwykłego dzielenia wyłania się wzór.
Odkrywanie reguły rządzącej ciągiem liczb to umiejętność, która wykracza daleko poza Fibonacciego. W grze w ciągi liczbowe każdy atak to ciąg z brakującą liczbą, a ty musisz odgadnąć regułę szybciej niż przeciwnik.
W rundzie powyżej każda liczba jest o 5 większa od poprzedniej, więc brakująca liczba to 24.
Jak narysować złoty prostokąt?
W złotym prostokącie dłuższy bok jest około 1,618 razy dłuższy od krótszego. Aby go narysować, pomnóż krótszy bok przez 1,618 albo podziel dłuższy bok przez 1,618, żeby znaleźć krótszy. Możesz go też skonstruować dokładnie cyrklem, zaczynając od kwadratu, bez mierzenia żadnych ułamków dziesiętnych.
Przykład
Jeśli krótszy bok ma 10 cm, dłuższy ma 10 · 1,618 ≈ 16,2 cm. Jeśli strona ma 1000 pikseli szerokości i chcesz podzielić ją w złotej proporcji, podziel przez φ. Otrzymasz główną kolumnę o szerokości około 618 pikseli i boczną o szerokości około 382 pikseli.
Aby skonstruować go cyrklem, wykonaj te kroki.
- Narysuj kwadrat o boku 1 (na przykład 1 decymetr).
- Zaznacz środek dolnego boku.
- Wbij nóżkę cyrkla w ten środek i rozchyl go do górnego wierzchołka po przeciwnej stronie. Ta odległość wynosi √5 : 2, czyli około 1,118.
- Zatocz łuk w dół do przedłużenia dolnego boku. Nowa długość wynosi 0,5 + 1,118 = 1,618.
- Dokończ prostokąt. Jego boki mają długości 1 i φ.
Jeśli odetniesz kwadrat od złotego prostokąta, pozostała część też będzie złotym prostokątem. Powtórz to, narysuj w każdym kwadracie ćwiartkę okręgu, a otrzymasz spiralę, którą często widać na ilustracjach złotego podziału. Taka geometria to także część gry z geometrii, w której figury, kąty i pola zamieniają się w szybkie wyzwania.
Gdzie w przyrodzie występuje złoty podział?
Najwyraźniejszym przykładem w przyrodzie jest sposób, w jaki wiele roślin układa liście i nasiona. Każde nowe nasiono w koszyczku słonecznika rośnie obrócone mniej więcej o ten sam kąt względem poprzedniego, około 137,5°. Ten złoty kąt upakowuje nasiona ciasno, bez przerw, i tworzy spirale, których liczba jest często liczbą Fibonacciego.
Przykład
Złoty kąt wynika bezpośrednio z φ. Podziel pełny obrót przez φ², a otrzymasz 360° : 2,618 ≈ 137,5°. Można to też zobaczyć inaczej. Ten obrót dzieli okrąg na dwa łuki, około 222,5° i 137,5°, w złotej proporcji.
Przegląd z 2022 roku przygotowany przez badaczy z Uniwersytetu w Nottingham, The Golden Ratio in Nature (po angielsku), zbiera przykłady w bardzo różnych skalach i opisuje "skłonność do pojawiania się w wielu różnych dziedzinach nauki i sztuki". Skłonność to dobre słowo. Wiele roślin podlega innym wzorcom, więc nie jest to prawo przyrody.
Czy muszla łodzika to złota spirala?
Zwykle nie. Łodzik rośnie według spirali logarytmicznej, która zachowuje kształt w miarę wzrostu, i to samo w sobie jest piękne. Pomiary prawdziwych muszli dają zwykle współczynnik wzrostu inny niż φ. Złota spirala narysowana na zdjęciu łodzika to ładny obrazek, a nie pomiar.
Czy złoty podział naprawdę jest w sztuce, budowlach i twarzach?
Zazwyczaj nie. Twierdzenia, że Partenon, słynne obrazy czy atrakcyjne twarze są zbudowane według złotego podziału, nie wytrzymują starannych pomiarów. W artykule z 2022 roku w The Conversation (po angielsku) matematyk Thomas Britz z UNSW wyjaśnia, że φ bardzo rzadko występuje w sztuce i architekturze starożytnej Grecji.
Przykład
Popularne twierdzenie o Partenonie mówi, że jego fasada mieści się w złotym prostokącie. Britz pisze, że dokładne obliczenia pokazują, że to nieprawda. Tak samo jest z "testami złotej proporcji twarzy", które oceniają celebrytów. Maska twarzy, na której się opierają, została obalona i nie ma jednej liczby, która decyduje o tym, czy twarz jest piękna.
Częstym powodem, dla którego mit przetrwał, jest wybieranie tylko tych przykładów, które pasują. Prawie każdy budynek czy twarz ma jakąś parę długości, których stosunek jest bliski 1,6, zwłaszcza jeśli samemu wybiera się miejsce pomiaru. Proporcje takie jak 3 : 2 = 1,5 czy 16 : 9 ≈ 1,78 też są przyjemne dla oka i znacznie częściej spotyka się je w ekranach i zdjęciach. Uczciwy test sprawdza wiele obiektów i liczy zarówno trafienia, jak i pudła.
Czy artyści i projektanci celowo używają złotego podziału?
Niektórzy tak. Projektanci czasem przyjmują 1,618 jako punkt wyjścia dla układu strony, ramek do zdjęć czy wielkości czcionek, bo daje to podział ani zbyt równy, ani zbyt nierówny. To decyzja projektowa, a nie dowód, że ta proporcja kryje się we wszystkim, co piękne. Działa tak samo jak każda inna harmonijna proporcja.
Złoty podział to prawdziwa matematyka, a nie reguła piękna
Złoty podział to dokładna liczba, (1 + √5) : 2 ≈ 1,618, o własnościach, które cieszą matematyków. Podniesienie jej do kwadratu dodaje 1, podzielenie 1 przez nią odejmuje 1, a liczby Fibonacciego coraz bardziej się do niej zbliżają. Kształtuje spirale nasion wielu roślin, a większość opowieści o twarzach i słynnych budowlach to raczej pobożne życzenia przy mierzeniu.
Najlepiej odkrywać ją z dzieckiem w praktyce. Dzielcie liczby Fibonacciego na kalkulatorze, narysujcie złoty prostokąt cyrklem albo policzcie spirale na szyszce. Każde z tych zajęć pokazuje prawdziwy wzór i żadne nie potrzebuje mitów, żeby było ciekawe.