Nauka matematyki · na nowo
Gra w eliminację Gaussa
Tutaj metoda Gaussa przychodzi po jednym elemencie: liczba, którą zostawia operacja na wierszach, niewiadoma odczytana ze schodków albo rząd całej macierzy. Rywal widzi tę samą macierz, więc im czyściej liczysz, tym szybciej uderza twój wojownik.
Wiek 4–99+ · bez pobierania · gra w przeglądarce · 23 języków
Czym jest eliminacja Gaussa?
Eliminacja Gaussa to sposób rozwiązywania układu równań liniowych przez porządkowanie jego macierzy, czyli tabeli współczynników, wiersz po wierszu. Możesz zamienić dwa wiersze, pomnożyć wiersz albo odjąć od wiersza wielokrotność innego. Krok po kroku pod schodkami gromadzą się zera, a potem rozwiązania odczytuje się od dołu.
Przykład: R₂ − 5·R₁ dla [ 1 2 4 8 ; 5 4 6 7 ; 5 4 5 8 ]
- Pytanie dotyczy a₂₂, nowego elementu w wierszu 2 i kolumnie 2 po R₂ − 5·R₁.
- W tej kolumnie wiersz 2 ma 4, a wiersz 1 ma 2.
- Odejmij pięć razy element z wiersza 1: 4 − 5 × 2 = 4 − 10 = −6.
- Nowy element to −6, więc wpisujesz go razem z minusem.
Krok po kroku
Eliminacja Gaussa porządkuje macierz wiersz po wierszu. Najczęstszy ruch to: weź wiersz i odejmij od niego pewną liczbę kopii innego wiersza. Zapis W₂ − 3·W₁ oznacza: nowy wiersz 2 = wiersz 2 minus 3 razy wiersz 1.
Robisz to element po elemencie, kolumna po kolumnie. Żeby znaleźć nowy element w wierszu 2, kolumnie 3, weź stary element wiersza 2 w kolumnie 3 i odejmij 3 razy element wiersza 1 w kolumnie 3. Jeśli to 7 i 4, nowy element to 7 − 3 × 4 = 7 − 12 = −5. Liczbę k dobiera się tak, żeby pierwszy element wiersza stał się 0 — to cały sens tego ruchu — ale potrzebujesz tylko tego jednego elementu, o który pyta zadanie.
Znajdź dwa elementy we wskazanej kolumnie, pomnóż górny przez k, odejmij i wpisz nowy element.
Wskazówki i częste błędy
- Czytaj a₃₂ jak miejsce w kinie: najpierw rząd, potem fotel. Wiersz 3, kolumna 2, nigdy odwrotnie.
- Częsty błąd to zmiana obu wierszy. R₂ − 5·R₁ przepisuje tylko wiersz 2; wiersz 1 zostaje bez zmian i tylko pożycza swoje liczby.
- Zapisz na kartce mały układ, na przykład x + y = 5 i x − y = 1, i ścigajcie się, kto pierwszy wyeliminuje x.
Jak grać
Każda runda pokazuje macierz z pytaniem obok: operację na wierszach i element, który zmienia, niewiadomą z układu trójkątnego albo rząd. Wpisz liczbę przed rywalem, a Czosnek wyprowadzi cios, tym mocniejszy, im szybciej odpowiedziałeś. Zła odpowiedź na chwilę cię ogłusza.
— Szybkie odpowiedzi —
Eliminacja Gaussa: krótkie FAQ
- Co to jest podstawianie wsteczne?
- Podstawianie wsteczne rozwiązuje układ trójkątny od ostatniego równania w górę. Dolny wiersz ma tylko jedną niewiadomą, więc rozwiązuje się go jako pierwszy. Ta wartość trafia do wiersza powyżej, w którym zostaje jedna niewiadoma, i tak aż do góry. Jeśli ostatni wiersz mówi 2x₄ = 10, to x₄ = 5, a wiersz wyżej korzysta z tej piątki.
- Jak obliczyć rząd macierzy?
- Aby obliczyć rząd macierzy, sprowadź ją do postaci schodkowej i policz wiersze, które nie są samymi zerami. Wiersz, który zamienia się w zera, był kombinacją pozostałych i nie wnosi nic nowego. Macierz 3×3, której trzeci wiersz jest sumą dwóch pierwszych, ma rząd 2.
- Dlaczego wychodzi mi zły znak przy operacjach na wierszach?
- Złe znaki przy operacjach na wierszach biorą się prawie zawsze z odejmowania ujemnego elementu. Jeśli wiersz 1 ma −3, a operacja to R₂ − 2·R₁, odejmujesz 2 × (−3) = −6, czyli dodajesz 6. Zapisz każdy iloczyn w nawiasie razem ze znakiem, zanim odejmiesz, a błąd zniknie.
- Kiedy uczy się metody eliminacji Gaussa?
- W wielu systemach szkolnych metoda eliminacji Gaussa pojawia się na pierwszym kursie algebry liniowej na studiach, choć niektóre licea pokazują ją na układach 3×3. Tutaj poziomy są przeznaczone dla 18-latków. Każdy, kto swobodnie radzi sobie z liczbami ujemnymi i prostymi równaniami, może zacząć od pierwszego poziomu.
- Czy ta gra w sprowadzanie do postaci schodkowej jest darmowa i nadaje się na lekcję?
- Tak, jest darmowa w każdej przeglądarce na laptopie, tablecie czy telefonie, bez instalowania czegokolwiek. Do ćwiczenia operacji na wierszach daj każdej drużynie układ 3×3 i poproś, by w trakcie eliminacji głośno podawała każdy nowy element. Pierwsza drużyna z czystymi schodkami tłumaczy swoje kroki reszcie klasy. Plan dla szkół, rozliczany za ucznia, dodaje panel nauczyciela pokazujący, kto staje się szybszy.
Więcej matematyki do opanowania