Фи, число с громкой славой
Математики обозначают его греческой буквой φ (фи), и про него говорят, что оно прячется в подсолнухах, знаменитых зданиях и красивых лицах. Часть этой славы заслужена, а большая часть нет. Сначала разберём математику, а потом честно расскажем, где золотая пропорция встречается на самом деле.
Как вычислить золотое сечение?
Золотое сечение вычисляют по формуле φ = (1 + √5) : 2. Квадратный корень из 5 примерно равен 2,236, поэтому прибавляем 1, делим на 2 и получаем примерно 1,618. Знаки после запятой никогда не заканчиваются и не повторяются, потому что φ иррациональное число. Для большинства бытовых задач вполне хватает 1,618.
Пример
Посчитайте на калькуляторе в три шага.
- √5 ≈ 2,236
- 1 + 2,236 = 3,236
- 3,236 : 2 = 1,618
Значит, φ ≈ 1,618. Если нужна большая точность, то с точностью до десяти знаков после запятой φ = 1,6180339887.
Откуда берётся формула для φ?
Возьмите отрезок и разделите его на большую часть a и меньшую часть b. Деление будет золотым, если весь отрезок так же относится к большей части, как большая часть к меньшей. В виде формулы это (a + b) : a = a : b. Это общее значение и есть φ.
Теперь пусть меньшая часть равна 1, тогда большая равна φ. Правило принимает вид (φ + 1) : φ = φ. Умножьте обе части на φ и получите φ² = φ + 1, то есть φ² − φ − 1 = 0. Это квадратное уравнение, и его положительный корень равен (1 + √5) : 2. Британника (на английском) описывает то же преобразование к виду x² − x − 1 = 0.
Почему 1,618, 0,618 и 2,618 так похожи?
Поскольку φ² = φ + 1, возвести φ в квадрат значит просто прибавить 1. Поэтому φ² ≈ 2,618. Если разделить то же уравнение на φ, получится φ = 1 + 1 : φ, а значит, 1 : φ = φ − 1 ≈ 0,618. Вот почему у трёх разных чисел одинаковые знаки после запятой.
Чем особенно золотое сечение?
Золотое сечение особенно тем, что φ единственное положительное число, квадрат которого равен самому числу плюс один, а обратное число равно самому числу минус один. Кроме того, оно связывает геометрию и счёт. Одно и то же значение появляется, когда вы гармонично делите отрезок, когда рисуете правильный пятиугольник и когда делите соседние числа Фибоначчи друг на друга.
Пример
В правильном пятиугольнике со стороной 1 каждая диагональ (отрезок, соединяющий две несоседние вершины) равна ровно φ, то есть примерно 1,618. Поэтому пятиконечная звезда внутри пятиугольника, пентаграмма, полна золотых пропорций. Каждый луч звезды делится остальными линиями в золотом отношении.
Идея очень древняя. По данным Британники, она восходит к Евклиду, который в своих «Началах» назвал её «делением в крайнем и среднем отношении».
Золотое сечение и число пи это одно и то же?
Нет. Число пи (π ≈ 3,14) это отношение длины окружности к её диаметру, а золотое сечение (φ ≈ 1,618) получается при делении отрезка. Оба числа иррациональные, с бесконечным числом знаков после запятой, и, вероятно, поэтому их путают. У них разные значения, и происходят они из разных фигур.
Золотое сечение и последовательность Фибоначчи это одно и то же?
Золотое сечение и последовательность Фибоначчи не одно и то же, но они тесно связаны. Последовательность Фибоначчи это ряд натуральных чисел, в котором каждое число равно сумме двух предыдущих. Если делить каждое число Фибоначчи на предыдущее, результаты будут всё ближе к золотому сечению.
Пример
Возьмите соседние числа из последовательности Фибоначчи и разделите их.
- 5 : 3 ≈ 1,667
- 8 : 5 = 1,6
- 13 : 8 = 1,625
- 21 : 13 ≈ 1,615
- 34 : 21 ≈ 1,619
- 89 : 55 ≈ 1,618
Результаты скачут то выше, то ниже 1,618 и быстро устанавливаются. Уже при 144 : 89 результат совпадает с φ до третьего знака после запятой. Это отличное занятие с калькулятором для детей: они видят, как из обычного деления появляется закономерность.
Находить правило, по которому строится ряд чисел, это навык, который далеко выходит за рамки Фибоначчи. В игре про числовые последовательности каждая атака это последовательность с пропущенным числом, и нужно разгадать правило раньше соперника.
В раунде на картинке каждое число на 5 больше предыдущего, поэтому пропущенное число равно 24.
Как нарисовать золотой прямоугольник?
У золотого прямоугольника длинная сторона примерно в 1,618 раза длиннее короткой. Чтобы его нарисовать, умножьте короткую сторону на 1,618 или разделите длинную на 1,618, чтобы найти короткую. Его можно и точно построить циркулем, начав с квадрата, вообще без измерения десятичных дробей.
Пример
Если короткая сторона равна 10 см, то длинная равна 10 · 1,618 ≈ 16,2 см. Если ширина страницы 1000 пикселей и вы хотите разделить её по золотому сечению, разделите на φ. Получится основная колонка примерно в 618 пикселей и боковая примерно в 382 пикселя.
Чтобы построить его циркулем, сделайте так.
- Нарисуйте квадрат со стороной 1 (например, 1 дециметр).
- Отметьте середину нижней стороны.
- Поставьте иглу циркуля в эту середину и разведите его до верхней вершины на противоположной стороне. Это расстояние равно √5 : 2, то есть примерно 1,118.
- Проведите дугу вниз до продолжения нижней стороны. Новая длина равна 0,5 + 1,118 = 1,618.
- Достройте прямоугольник. Его стороны равны 1 и φ.
Если отрезать от золотого прямоугольника квадрат, оставшаяся часть снова будет золотым прямоугольником. Повторите это, нарисуйте в каждом квадрате четверть окружности, и получится спираль, которую часто показывают на иллюстрациях к золотому сечению. Такая геометрия есть и в игре по геометрии, где фигуры, углы и площади превращаются в быстрые задания.
Где золотое сечение встречается в природе?
Самый наглядный пример в природе это то, как многие растения располагают листья и семена. Каждое новое семечко в корзинке подсолнуха растёт повёрнутым примерно на один и тот же угол относительно предыдущего, около 137,5°. Этот золотой угол плотно укладывает семена без промежутков и создаёт спирали, число которых часто оказывается числом Фибоначчи.
Пример
Золотой угол напрямую связан с φ. Разделите полный оборот на φ² и получите 360° : 2,618 ≈ 137,5°. Можно посмотреть и иначе. Этот поворот делит окружность на две дуги, примерно 222,5° и 137,5°, и они находятся в золотом отношении.
Обзор 2022 года, подготовленный исследователями Ноттингемского университета, The Golden Ratio in Nature (на английском), собирает примеры в самых разных масштабах и говорит о «склонности появляться во многих научных и художественных областях». Склонность тут точное слово. Многие растения подчиняются другим закономерностям, так что это не закон природы.
Раковина наутилуса это золотая спираль?
Как правило, нет. Наутилус растёт по логарифмической спирали, которая сохраняет форму по мере роста, и это уже красиво само по себе. Измерения настоящих раковин обычно дают коэффициент роста, отличный от φ. Золотая спираль, нарисованная поверх фото наутилуса, это красивая картинка, а не измерение.
Есть ли золотое сечение в искусстве, архитектуре и лицах на самом деле?
В основном нет. Утверждения, что Парфенон, знаменитые картины или привлекательные лица построены по золотому сечению, не выдерживают тщательных измерений. В статье 2022 года в The Conversation (на английском) математик Томас Бриц из Университета Нового Южного Уэльса объясняет, что φ очень редко встречается в искусстве и архитектуре Древней Греции.
Пример
Популярное утверждение о Парфеноне гласит, что его фасад вписывается в золотой прямоугольник. Бриц пишет, что точные расчёты показывают обратное. То же самое с «тестами лица по золотому сечению», которые ставят оценки знаменитостям. Маска лица, на которой они основаны, давно разоблачена, и нет такого единственного числа, которое решало бы, красиво лицо или нет.
Одна из частых причин живучести мифа в том, что из всех примеров выбирают только те, что подходят. Почти у любого здания или лица найдётся пара размеров, отношение которых близко к 1,6, особенно если можно самому выбирать, что измерять. Отношения вроде 3 : 2 = 1,5 или 16 : 9 ≈ 1,78 тоже приятны глазу и гораздо чаще встречаются в экранах и фотографиях. Честная проверка рассматривает много объектов и учитывает не только попадания, но и промахи.
Художники и дизайнеры используют золотое сечение намеренно?
Некоторые да. Дизайнеры иногда берут 1,618 за основу для макетов, рамок или размеров шрифта, потому что такое деление не слишком равномерное и не слишком кривое. Это дизайнерское решение, а не доказательство того, что эта пропорция спрятана во всём красивом. Она работает так же, как любая другая гармоничная пропорция.
Золотое сечение это настоящая математика, а не правило красоты
Золотое сечение это точное число, (1 + √5) : 2 ≈ 1,618, со свойствами, которые радуют математиков. Возведение в квадрат прибавляет к нему 1, деление 1 на него отнимает 1, а числа Фибоначчи подбираются к нему всё ближе. Оно задаёт спирали семян у многих растений, а большинство историй про лица и знаменитые здания это измерения, подогнанные под желаемый ответ.
Исследовать его с ребёнком лучше всего на практике. Делите числа Фибоначчи на калькуляторе, нарисуйте золотой прямоугольник циркулем или посчитайте спирали на сосновой шишке. Каждое занятие показывает настоящую закономерность, и ни одному не нужны мифы, чтобы быть интересным.
Потренируй дальше это