محيط الدائرة: القانون، أمثلة، ولماذا يظهر π

كيف تجد محيط الدائرة من نصف القطر أو القطر؟

لإيجاد محيط الدائرة، اضرب القطر في π، أي نحو 3.14، فيكون C = πd. القطر هو المسافة المستقيمة من طرف الدائرة إلى طرفها الآخر مرورًا بالمركز. إذا كنت تعرف نصف القطر فقط، وهو المسافة من المركز إلى الحافة، فضاعفه أولًا أو استخدم C = 2πr. الطريقتان تعطيان الطول نفسه.

مثال

أوجد محيط دائرة نصف قطرها 4 سم.

1. ضاعف نصف القطر لتحصل على القطر. 2 × 4 = 8 سم
2. اضرب في π. 8 × π ≈ 25.13
3. أضف الوحدة. المحيط يساوي نحو 25.13 سم

يمكنك أيضًا أن تترك الإجابة على صورة 8π سم. هذه الصيغة الدقيقة شائعة في الصفوف المتقدمة، لأنها تتجنب التقريب.

إذا كان القطر معروفًا، فالحل خطوة واحدة. طاولة مستديرة قطرها 1.2 م محيطها 1.2 × π ≈ 3.77 م، لذلك يكفي لحافتها شريط زينة طوله أقل من 4 م بقليل.

هل تستخدم 3.14 أم زر π في الآلة الحاسبة؟

كلاهما صحيح، ما دمت تتبع ما يطلبه السؤال. العدد π عدد غير نسبي، فمنازله العشرية لا تنتهي ولا تتكرر، وتذكر بريتانيكا أن 3.14 أو 22/7 هما التقريبان المعتادان في الحياة اليومية. باستخدام 3.14 يعطي المثال الأول 8 × 3.14 = 25.12 سم. وباستخدام زر π يعطي 25.13 سم. هذا الفرق الصغير سببه تقريب π فقط.

الخطأ الأكثر شيوعًا

أكثر خطأ يُفقد الطلاب الدرجات في الاختبارات هو التعويض بالقطر في C = 2πr. إذا كان القطر 10 سم، فالنتيجة 2 × π × 10 ≈ 62.83 سم، وهي ضعف الإجابة الصحيحة. الإجابة الصحيحة هي 10 × π ≈ 31.42 سم. إذا كان معك القطر فاستخدم πd، وإذا كان معك نصف القطر فاستخدم 2πr.

لماذا يساوي المحيط π مضروبًا في القطر؟

يُعرَّف π بأنه محيط الدائرة مقسومًا على قطرها. كل الدوائر، من قطعة النقود إلى الكوكب، لها الشكل نفسه، لذلك لا تتغير هذه النسبة أبدًا. ولهذا يصلح القانون C = πd لكل دائرة. دحرج دائرة على خط مستقيم دورة كاملة واحدة، وستجد أنها تقطع أكثر من ثلاثة أقطار بقليل.

مثال

تخيّل قطعة نقود قطرها 2 سم. ضع علامة على حافتها، ثم دحرجها على مسطرة دورة واحدة بالضبط. تعود العلامة لتلمس المسطرة عند نحو 6.28 سم، لأن 2 × π ≈ 6.28. ثلاثة أقطار تساوي 6 سم، والجزء الصغير الإضافي هو 0.28 سم الذي يحوّل 3 إلى 3.14.

يمكنك أن تجرب ذلك في البيت بعلبة مستديرة وقطعة خيط ومسطرة، أو بأي جسم مستدير وشريط قياس. قِس المحيط والقطر، ثم اقسم أحدهما على الآخر. النتيجة دائمًا قريبة من 3.14، والأخطاء الصغيرة سببها القياس باليد.

استخدم ويليام جونز الحرف اليوناني π لأول مرة لهذه النسبة سنة 1706، بحسب بريتانيكا. ويصف المقال نفسه كيف حصر أرخميدس π بين 223/71 و22/7 برسم مضلعات داخل الدائرة وخارجها.

كيف تجد القطر أو نصف القطر من المحيط؟

لإيجاد القطر من المحيط، اقسم المحيط على π، فيكون d = C ÷ π. ولإيجاد نصف القطر، اقسم على 2π بدلًا من ذلك، فيكون r = C ÷ (2π). ينجح هذا لأننا نستخدم قانون المحيط بالعكس فقط. قِس المسافة حول الشيء، وستعرف المسافة عبره.

مثال

جذع شجرة محيطه 150 سم. قطره 150 ÷ π ≈ 47.75 سم، ونصف قطره نصف ذلك، أي نحو 23.87 سم.

هذه حيلة مفيدة لأي شيء لا يمكنك قياسه مباشرة من طرف إلى طرف، مثل شجرة أو عمود أو أنبوب. لُفّ شريط القياس حوله من الخارج، ثم تعطيك عملية قسمة واحدة القطر.

كيف تجد محيط الدائرة من المساحة؟

لإيجاد المحيط من المساحة، أوجد نصف القطر أولًا. اقسم المساحة على π، ثم خذ الجذر التربيعي، فيكون r = √(A ÷ π). بعد ذلك استخدم C = 2πr. احتفظ بقيمة نصف القطر كاملة في الآلة الحاسبة ولا تقرّب إلا في النهاية، حتى لا تتراكم أخطاء التقريب الصغيرة.

مثال

دائرة مساحتها 100 سم².

1. أوجد نصف القطر. 100 ÷ π ≈ 31.83، و√31.83 ≈ 5.64 سم
2. أوجد المحيط. 2 × π × 5.642 ≈ 35.45 سم

هناك أيضًا قانون من خطوة واحدة، C = 2√(πA). مع 100 سم² يعطي 2 × √(π × 100) ≈ 35.45 سم، وهي الإجابة نفسها. إذا شعرت أن الجذور التربيعية بطيئة، فبضع جولات من الجذور التربيعية تجعل هذه الخطوة أسرع بكثير.

كم تقطع العجلة في دورة واحدة؟

تقطع العجلة مسافة تساوي محيطها في كل دورة كاملة، ما دامت تتدحرج دون انزلاق. إذن المسافة في دورة واحدة هي π مضروبًا في قطر العجلة. عجلة دراجة قطرها 70 سم تتحرك نحو 2.2 م في كل دورة، و1,000 دورة تحملها نحو 2.2 كم.

مثال

للعجلة التي قطرها 70 سم، الدورة الواحدة تساوي 70 × π ≈ 219.9 سم، أي نحو 2.2 م. لقطع 1 كم، أي 100,000 سم، تدور العجلة 100,000 ÷ 219.9 ≈ 455 مرة.

بهذه الطريقة بالضبط تقدّر كثير من عدادات الدراجات وعدادات الخطوات المسافة. فهي تعدّ الدورات أو الخطوات ثم تضربها في طول معروف. وهي أيضًا طريقة لطيفة لتُري الأطفال أن π ليس مجرد رقم مدرسي.

يثبت القانون في الذاكرة أكثر عندما تستخدمه كثيرًا بأعداد مختلفة. في لعبة الهندسة، كل هجمة في النزال سؤال عن شكل هندسي، لذلك يصبح تذكّر C = πd بسرعة جزءًا من الفوز بالجولة. في اللعبة يُحسب π على أنه 3، لذلك كل إجابة عدد صحيح يمكنك حسابه في ذهنك. الجولات القصيرة المتكررة أنفع من جلسة واحدة طويلة.

ما محيط نصف الدائرة؟

محيط نصف الدائرة هو نصف محيط الدائرة مضافًا إليه الضلع المستقيم، فيكون P = πr + 2r. من الأخطاء الشائعة التوقف عند πr ونسيان القطر في الأسفل. إذا كان نصف القطر 5 سم، فالجزء المنحني 5π ≈ 15.71 سم، وبإضافة 10 سم يصبح نحو 25.71 سم.

ما علاقة المحيط بدائرة الوحدة؟

دائرة الوحدة نصف قطرها 1، لذلك محيطها 2π بالضبط. ولهذا تساوي الدورة الكاملة 2π راديان في حساب المثلثات. وتستخدم دائرة الوحدة هذه الفكرة لقياس الزوايا على أنها مسافات حول الحافة.

اعرف نصف القطر أو القطر وسيتبعه المحيط

تقريبًا كل سؤال عن المحيط يصبح عملية ضرب واحدة بمجرد أن تعرف نصف القطر أو القطر. استخدم هذه القائمة لاختيار الخطوة الصحيحة.

• إذا عُلم نصف القطر r: C = 2πr
• إذا عُلم القطر d: C = πd
• إذا عُلم المحيط وأردت القطر: d = C ÷ π
• إذا عُلم المحيط وأردت نصف القطر: r = C ÷ (2π)
• إذا عُلمت المساحة A: r = √(A ÷ π)، ثم C = 2πr
• نصف الدائرة: P = πr + 2r

الإجابة دائمًا طول، لذلك اكتبها بالسنتيمتر أو المتر أو أي وحدة طول أخرى، ولا تكتبها أبدًا بوحدات مربعة.