متتالية فيبوناتشي، ما هي وأين تظهر في الطبيعة

كيف تُكوَّن متتالية فيبوناتشي؟

لتكوين متتالية فيبوناتشي، اكتب 0 و1، ثم اجمع آخر عددين لتحصل على العدد التالي، وكرّر هذه الخطوة باستمرار. كل عدد جديد يعتمد فقط على العددين اللذين قبله، لذلك يمكن أن تستمر المتتالية إلى ما لا نهاية. وتُسمّى الأعداد التي تكتبها بهذه الطريقة أعداد فيبوناتشي.

مثال

كوّن المتتالية خطوة بخطوة. ابدأ بـ 0 و1.

1. 0 + 1 = 1
2. 1 + 1 = 2
3. 1 + 2 = 3
4. 2 + 3 = 5
5. 3 + 5 = 8
6. 5 + 8 = 13
7. 8 + 13 = 21

كل عدد جديد يحتاج فقط إلى آخر عددين. ولهذا فهي تحدٍّ جيد للجمع الذهني عند الأطفال، لأن الأعداد تكبر بسرعة لكن القاعدة لا تتغير أبدًا. القاعدة بسيطة بما يكفي لطفل صغير، ومع ذلك تظهر الأعداد نفسها في زهرة عباد الشمس وأكواز الصنوبر والنسبة الذهبية.

هل تبدأ المتتالية بـ 0 أم بـ 1؟

كلتا الصيغتين شائعة. كثير من الكتب تبدأ بـ 0، 1، 1، 2، 3، وكتب أخرى تبدأ بـ 1، 1، 2، 3. والأعداد التي تليها هي نفسها في الحالتين. يكتب علماء الرياضيات القاعدة عادةً هكذا Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂، مع F₀ = 0 وF₁ = 1، ومعناها "كل حدّ يساوي مجموع الحدّين السابقين له".

أنماط مخفية في المتتالية

في المتتالية أنماط صغيرة يستمتع الأطفال باكتشافها. كل عدد ثالث عدد زوجي (0، 2، 8، 34، 144، 610)، وكل الأعداد الأخرى فردية. وكل عدد خامس يقبل القسمة على 5 (0، 5، 55، 610). اطلب من طفلك أن يتحقق من هذه الأنماط في أعداد أبعد في المتتالية. إنها طريقة ممتعة للتدرّب على الجمع واكتشاف البنية في الوقت نفسه.

من أين جاءت متتالية فيبوناتشي؟

سُمّيت المتتالية باسم ليوناردو البيزي، المعروف بفيبوناتشي، وهو عالم رياضيات إيطالي. وقد وصفها في كتابه Liber abaci الذي كتبه عام 1202، من خلال لغز عن الأرانب. ووفقًا لـ موسوعة بريتانيكا، فهي أول متتالية عددية تكرارية معروفة في أوروبا، أي أن كل حدّ فيها يُبنى من الحدود السابقة.

مثال

يسير لغز الأرانب على النحو التالي. تبدأ بزوج واحد من الأرانب حديثة الولادة. يحتاج الزوج إلى شهر واحد ليكبر، ومن بعدها يُنجب كل زوج بالغ زوجًا جديدًا كل شهر. ولا يغادر أي أرنب أبدًا. عُدّ الأزواج في بداية كل شهر.

• الشهر 1: زوج واحد (حديث الولادة)
• الشهر 2: زوج واحد (أصبح بالغًا)
• الشهر 3: زوجان (البالغان وصغارهما الأوائل)
• الشهر 4: 3 أزواج
• الشهر 5: 5 أزواج
• الشهر 6: 8 أزواج

مجموع كل شهر يساوي مجموع الشهر السابق مضافًا إليه عدد الأزواج البالغة، والأزواج البالغة تساوي تمامًا المجموع قبل شهرين. هذه هي قاعدة فيبوناتشي. وبالطبع، لا تتصرف الأرانب الحقيقية بهذا الانتظام. كان اللغز طريقة لوصف النمط، وليس دراسة للحيوانات.

كيف تجد العدد التالي في متتالية فيبوناتشي؟

لإيجاد عدد فيبوناتشي التالي، اجمع آخر عددين في القائمة. بعد 21 و34 يأتي 21 + 34 = 55، وبعد 34 و55 يأتي 89. ولإيجاد عدد بعيد في المتتالية، استمر في كتابة القائمة، أو استخدم صيغة بينيه التي تحسب أي حدّ مباشرةً باستخدام النسبة الذهبية.

مثال

أوجد عدد فيبوناتشي العاشر، مع اعتبار F₀ = 0 نقطة البداية. كتابة القائمة تعطي 0، 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، 34، 55، إذن F₁₀ = 55.

تعطي صيغة بينيه الجواب نفسه دون كتابة القائمة. ارفع النسبة الذهبية φ (نحو 1.618) إلى القوة العاشرة واقسم على √5. ستحصل على نحو 122.99 ÷ 2.236 ≈ 55.004، وبالتقريب إلى أقرب عدد صحيح تحصل على 55. وهذه مفاجأة جميلة للمتعلمين الأكبر سنًا، لأن عددًا مبنيًا من الجذور التربيعية يقترب كل مرة من عدد صحيح إلى هذا الحد.

اكتشاف القاعدة وراء قائمة من الأعداد مهارة تتجاوز فيبوناتشي بكثير. تحوّل لعبة متتاليات الأعداد هذه المهارة إلى معركة، كل هجوم فيها متتالية وعليك إيجاد العدد الناقص. إنها طريقة سريعة للتدرّب على رؤية أنماط مثل "اجمع آخر عددين" دون كتابة أي شيء.

ما علاقة متتالية فيبوناتشي بالنسبة الذهبية؟

إذا قسمت كل عدد من أعداد فيبوناتشي على العدد الذي قبله، تقترب النتائج أكثر فأكثر من النسبة الذهبية، أي نحو 1.618. على سبيل المثال، 8 ÷ 5 = 1.6، و13 ÷ 8 = 1.625، و89 ÷ 55 ≈ 1.618. والنسبة الذهبية نفسها هي (1 + √5) ÷ 2، وهو عدد لا تنتهي منازله العشرية ولا تتكرر.

مثال

لاحظ كيف تستقر النسب كلما كبرت الأعداد.

• 3 ÷ 2 = 1.5
• 5 ÷ 3 ≈ 1.667
• 8 ÷ 5 = 1.6
• 13 ÷ 8 = 1.625
• 21 ÷ 13 ≈ 1.615
• 34 ÷ 21 ≈ 1.619
• 55 ÷ 34 ≈ 1.618

تتأرجح النتائج فوق 1.618 وتحتها، وتقترب منه أكثر في كل مرة. وتذكر موسوعة بريتانيكا أن عالم الرياضيات روبرت سيمسون وصف هذه العلاقة عام 1753.

ما هو حلزون فيبوناتشي؟

ارسم مربعًا طول ضلعه 1، ثم مربعًا آخر طول ضلعه 1 بجانبه، ثم مربعًا طول ضلعه 2، ثم 3، ثم 5، ثم 8، وضع كل مربع ملاصقًا للمستطيل الذي تكوّن حتى الآن. صِل الزاويتين المتقابلتين في كل مربع بربع دائرة، فتحصل على حلزون فيبوناتشي. وهو تقريب قريب جدًا من الحلزون الذهبي، الذي يكبر بمقدار النسبة الذهبية مع كل ربع دورة.

أين تظهر متتالية فيبوناتشي في الطبيعة؟

تظهر أعداد فيبوناتشي كثيرًا في النباتات. تشكّل بذور زهرة عباد الشمس مجموعتين من الحلزونات، وعدد الحلزونات في كل اتجاه يكون عادةً زوجًا من أعداد فيبوناتشي المتجاورة، مثل 34 و55 أو 55 و89. وتُظهر أكواز الصنوبر حلزونات مشابهة، ولكثير من الأزهار 3 أو 5 أو 8 أو 13 أو 21 بتلة.

مثال

خذ كوز صنوبر أو صورة لزهرة عباد الشمس، وعُدّ الحلزونات التي تنحني في اتجاه عقارب الساعة. ثم عُدّ الحلزونات التي تنحني في الاتجاه الآخر. تعرض صفحات فيبوناتشي في الطبيعة للدكتور رون نوت في جامعة سري زهرات عباد شمس فيها 55 حلزونًا في اتجاه و34 في الاتجاه الآخر، وزهرات أكبر فيها 89 و55.

وتسرد الصفحات نفسها أزهارًا بحسب عدد بتلاتها، مثل العائق بـ 8، والشيخة وبعض أنواع الأقحوان بـ 13، والنجمية بـ 21. العدّ معًا نشاط عملي جميل، ويُري الأطفال أن الأعداد تصف أشياء حقيقية من حولهم.

لماذا تنمو النباتات في حلزونات فيبوناتشي؟

تضع نباتات كثيرة كل بذرة أو ورقة جديدة بزاوية دوران تكاد تكون ثابتة عن سابقتها، نحو 137.5°. هذه الزاوية المرتبطة بالنسبة الذهبية ترصّ البذور بإحكام دون فراغات ضائعة، والحلزونات التي يمكنك عدّها هي نتيجة جانبية لهذا الدوران المنتظم. ويوضّح الجزء الثاني من دليل رون نوت لماذا تعمل هذه الزاوية بهذه الكفاءة.

هل متتالية فيبوناتشي موجودة حقًا في كل مكان في الطبيعة؟

لا. أعداد فيبوناتشي شائعة في النباتات، لكنها ليست قانونًا من قوانين الطبيعة. تشير صفحات رون نوت في جامعة سري إلى أنك لن تجد دائمًا أعداد فيبوناتشي في البتلات أو رؤوس البذور، وبعض الأزهار، مثل الفوشية، لها 4 بتلات. وكثير من الادعاءات على الإنترنت، خاصة عن الأصداف والوجوه والمباني الشهيرة، تبالغ كثيرًا في تفسير الأدلة.

مثال

كثيرًا ما تُعرض صدفة النوتي وعليها حلزون ذهبي مرسوم. صحيح أن الصدفة تنمو على شكل حلزون لوغاريتمي، وهو منحنى يحافظ على شكله نفسه كلما كبر. لكن صفحات نوت تذكر أن معامل نموها يتغير وقد لا يكون النسبة الذهبية، وأن تسميته حلزونًا ذهبيًا غير صحيحة. إذن النوتي حلزون جميل، لكنه ليس دليلًا على فيبوناتشي.

وهذا درس مفيد للأطفال الأكبر سنًا أيضًا. النمط الذي يتكرر ظهوره يستحق الانتباه، لكن السؤال الصادق دائمًا هو "كم مرة، وإلى أي مدى؟" وعدّ الحلزونات على كوز صنوبر حقيقي اختبار أفضل من أي صورة على الإنترنت.

عددان للبداية وقاعدة واحدة يكوّنان المتتالية كلها

كل عدد من أعداد فيبوناتشي يأتي من الخطوة نفسها، وهي جمع العددين اللذين قبله. إليك أول 21 حدًّا، بدءًا من F₀ = 0، لتتحقق من قائمتك.

• 0، 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، 34
• 55، 89، 144، 233، 377، 610، 987
• 1597، 2584، 4181، 6765

إذا تاه الطفل في العدّ، فارجع إلى آخر عددين متأكد منهما واجمعهما من جديد. القاعدة لا تتغير أبدًا، لذلك يسهل دائمًا تصحيح أي خطأ.