إن بدا لك هذا خاطئًا، فأنت لست وحدك. آلاف الناس، وبعضهم يحملون شهادة الدكتوراه، رفضوا تصديقه في البداية. ستجد أدناه اللغز، ثم بضع طرق مختلفة لفهم سبب نجاح تغيير الباب. على الأرجح ستجعلك إحداها تفهم الفكرة فجأة.
كيف تعمل مسألة مونتي هول؟
أنت مشترك في برنامج مسابقات تلفزيوني، وأمامك ثلاثة أبواب مغلقة. خلف أحدها سيارة، وخلف البابين الآخرين ماعزان. تختار بابًا. يفتح المقدّم، وهو يعرف مكان السيارة، أحد البابين الآخرين ويريك ماعزًا. ثم يسألك هل تريد البقاء على بابك أم التبديل إلى الباب المغلق الأخير.
يهزّ معظم الناس أكتافهم ويقولون إن الأمر لا يهم. بقي بابان، إذن الفرصة متساوية، النصف بالنصف. لكن الأمر ليس كذلك. تغيير الباب يربح السيارة مرتين من كل 3 مرات.
سُمّي اللغز باسم مونتي هول، مقدّم برنامج المسابقات التلفزيوني Let's Make a Deal. ويعتمد الجواب الشهير على ثلاث قواعد.
- يفتح المقدّم دائمًا بابًا لم تختره.
- يكشف المقدّم دائمًا عن ماعز، ولا يكشف السيارة أبدًا.
- يعرض عليك المقدّم دائمًا فرصة التبديل.
لماذا يربح التبديل مرتين من كل 3 مرات؟
اختيارك الأول خاطئ مرتين من كل 3 مرات. وفي كل مرة يكون فيها خاطئًا، لا يملك المقدّم أي خيار. عليه أن يفتح باب الماعز الآخر، فتبقى السيارة خلف الباب الذي يمكنك التبديل إليه. لذلك يربح التبديل في كل مرة كان تخمينك الأول فيها خاطئًا، ولا يخسر إلا حين تكون قد اخترت السيارة من البداية بالصدفة.
مثال
لنفترض أنك تختار الباب 1 دائمًا. يمكن أن تكون السيارة في ثلاثة أماكن فقط، ولكل منها الاحتمال نفسه.
- السيارة خلف الباب 1. يفتح المقدّم الباب 2 أو الباب 3. البقاء يربح، والتبديل يخسر.
- السيارة خلف الباب 2. على المقدّم أن يفتح الباب 3. البقاء يخسر، والتبديل يربح.
- السيارة خلف الباب 3. على المقدّم أن يفتح الباب 2. البقاء يخسر، والتبديل يربح.
عُدّ النتائج. البقاء يربح مرة واحدة، والتبديل يربح مرتين. والأمر نفسه أيًّا كان الباب الذي تبدأ به.
إليك طريقة أخرى لتصوّر الأمر. يبدأ بابك بفرصة 1 من 3، ويتقاسم البابان الآخران الـ 2 من 3 الباقية. حين يفتح المقدّم أحدهما، لا تتحرك السيارة من مكانها. هو فقط يريك أيّ البابين يحمل الآن الـ 2 من 3 كلها.
لماذا لا تكون الفرصة متساوية حين يبقى بابان؟
لأن المقدّم لا يفتح بابًا عشوائيًا. هو يعرف مكان السيارة ويتجنبها دائمًا، لذلك فإن الباب الذي يتركه مغلقًا اختير بناءً على هذه المعرفة. أما بابك أنت فاخترته دون أن تعرف شيئًا، فيحتفظ بفرصته 1 من 3. ويأخذ الباب المغلق الآخر الباقي، أي 2 من 3.
يُرجع مقال في مجلة ساينتفك أمريكان عن هذا اللغز هذا الخطأ إلى ما يسميه علماء النفس انحياز تساوي الاحتمالات. فنحن نميل إلى افتراض أن كل النتائج التي أمامنا متساوية الاحتمال. يبدو البابان مثل رمي عملة، فنتوقف عن التفكير.
الفخ الآخر أن حركة المقدّم تبدو وكأنها لا تخبرك بشيء. لكنها في الحقيقة تخبرك بالكثير. فكلما كان خلف بابك ماعز، اضطر المقدّم إلى ترك باب السيارة مغلقًا. هذا الاختيار المفروض عليه هو المعلومة الخفية.
هل تجعل نسخة الأبواب المئة الأمر أسهل؟
عند كثير من الناس، نعم. تخيّل 100 باب وسيارة واحدة. تختار بابًا، فيفتح المقدّم، وهو يعرف مكان السيارة، 98 بابًا من الأبواب الأخرى ليريك 98 ماعزًا. يبقى باب واحد مغلقًا. كانت فرصة بابك 1 من 100. أما الباب الذي تجنّبه المقدّم عن قصد فصار يحمل الـ 99 من 100 الباقية.
مثال
تختار الباب 37. يفتح المقدّم كل الأبواب من 1 إلى 100 ما عدا 37 و82. هل تظن حقًا أن اختيارك الأول العشوائي هو المحظوظ؟ الأرجح بكثير أنه تجاوز الباب 82 لأن السيارة خلفه.
استخدمت مارلين فوس سافانت، التي جعلت اللغز مشهورًا، نسخة أكبر بكثير فيها مليون باب. والفكرة نفسها مع ثلاثة أبواب، لكن الإحساس بها أصعب. إن لم تساعدك الأبواب المئة، فجرّب أن تفكر في الخطأ بدلًا من ذلك. اختيارك الأول خاطئ مرتين من كل 3 مرات، والتبديل يحوّل كل اختيار خاطئ إلى فوز.
ماذا يحدث إذا كان المقدّم لا يعرف مكان السيارة؟
عندها لا يعود التبديل مفيدًا. إذا فتح المقدّم بابًا عشوائيًا وصادف أن ظهر خلفه ماعز، فإن البقاء والتبديل يربحان كلاهما في نصف المرات. ولا يصح جواب 2 من 3 إلا حين يعرف المقدّم مكان السيارة، ويفتح دائمًا باب ماعز، ويعرض دائمًا التبديل.
مثال
تختار الباب 1، ويفتح مقدّم لا يعرف شيئًا الباب 2 أو الباب 3 عشوائيًا. أحيانًا يكشف السيارة بالخطأ، فتفسد تلك الجولات. وفي الجولات التي يظهر فيها ماعز، تكون السيارة خلف بابك في نصف المرات تمامًا.
وقد نبّه مونتي هول الحقيقي إلى المشكلة نفسها. ففي مقال لصحيفة نيويورك تايمز عام 1991، حذّر من أن على المتسابق أن يحترس إذا كان المقدّم يستطيع أن يقرر أصلًا هل يعرض التبديل أم لا. ففي برنامج حقيقي، قد يكون العرض نفسه فخًا.
كيف تختبر مسألة مونتي هول بنفسك؟
لا تحتاج إلا إلى ثلاث أوراق لعب وصديق. ورقة آس تمثل السيارة، وورقتان أخريان تمثلان الماعزين. يخلط صديقك الأوراق ووجهها إلى الأسفل، فتشير إلى إحداها، ثم يقلب صديقك ورقة ماعز لم تخترها. العب 30 جولة وبدّل في كل مرة. يُفترض أن تربح نحو 20 منها.
ثم العب 30 جولة أخرى وابقَ على اختيارك في كل مرة. هذه المرة يُفترض أن تربح نحو 10. مع هذا العدد القليل من الجولات ستتأرجح الأرقام قليلًا، لكن الفرق يظهر بسرعة.
حتى كبار علماء الرياضيات احتاجوا إلى رؤية ذلك بأعينهم. تذكر مجلة ساينتفك أمريكان أن عالم الرياضيات الغزير الإنتاج بول إيردوس وقع هو أيضًا في فخ هذا اللغز. فإن كان الأمر لا يزال يبدو لك خاطئًا، فالعب بالأوراق.
ما يدرّبه هذا اللغز حقًا هو عدّ كل الحالات الممكنة بإنصاف. وتطرح لعبة الاحتمالات النوع نفسه من الأسئلة في كل جولة. ففي المعركة أدناه مثلًا، عليك أن تعدّ الطرق التي تُظهر بها 4 عملات صورة واحدة بالضبط. الجواب 4، لأن الصورة يمكن أن تكون على أي واحدة من العملات الأربع.
لماذا يخطئ كثير من الناس في مسألة مونتي هول؟
يبدو البابان المغلقان ببساطة وكأنهما خيار بفرص متساوية، ومن السهل أن تفوتك المعرفة الخفية لدى المقدّم. وربما يلعب الندم دورًا أيضًا. فالخسارة بعد أن تركت باب السيارة وبدّلت تؤلم أكثر من الخسارة لأنك بقيت، لذلك يتمسك كثيرون ببابهم الأول حتى حين يفهمون الحساب.
ظهر اللغز أول مرة عام 1975، في رسائل كتبها الإحصائي ستيف سيلفن. واشتهر عام 1990، حين أجابت عنه مارلين فوس سافانت في عمودها Ask Marilyn في مجلة Parade، ونصحت القرّاء بالتبديل. وتذكر ساينتفك أمريكان أنها تلقت ما يُقدّر بنحو 10 آلاف رسالة تقول لها إنها مخطئة. وأضافت نيويورك تايمز أن قرابة 1000 منها كانت موقّعة من أشخاص يحملون الدكتوراه.
وبالطبع كانت على حق. أصبحت تلك الرسائل اليوم جزءًا من القصة، وهي خير تذكير بأن الحدس الواثق في أمور الاحتمالات قد يكون خاطئًا تمامًا.
بدّل الباب، ما دام المقدّم يعرف ويفتح دائمًا باب ماعز
وفق القواعد المعتادة، يضاعف التبديل فرصتك في الفوز، من 1 من 3 إلى 2 من 3. وإذا تغيرت القواعد فقد يتغير الجواب أيضًا، كأن يفتح المقدّم الأبواب عشوائيًا أو لا يعرض التبديل إلا حين يناسبه. هذا هو الدرس الذي يتجاوز برامج المسابقات. قبل أن تثق باحتمال ما، اسأل كيف اختيرت المعلومات التي أمامك.
تمرّن على هذه تاليًا