صيغة الميل ونقطة لمعادلة المستقيم، ومتى نستخدمها بدلًا من y = mx + b

كيف تكتب معادلة المستقيم بصيغة الميل ونقطة؟

ضع الميل مكان m، وإحداثيي نقطة تعرفها مكان x₁ و y₁. اترك x و y حرفين كما هما، فهما يمثلان كل نقطة أخرى على المستقيم. استخدم صيغة الميل ونقطة عندما تعرف نقطة واحدة على المستقيم وميله.

مثال

اكتب معادلة المستقيم المار بالنقطة (2, 3) وميله 2.

1. النقطة تعطينا x₁ = 2 و y₁ = 3.
2. الميل يعطينا m = 2.
3. بالتعويض: y − 3 = 2(x − 2).

انتهيت، ولا يوجد ما يحتاج إلى تبسيط. وإن أردت التأكد، فاختبر نقطة ثانية. خطوة واحدة إلى اليمين وخطوتان إلى الأعلى من (2, 3) توصلانك إلى (3, 5). عوّض بهذين العددين: في طرف y نجد 5 − 3 = 2، وفي الطرف الآخر 2(3 − 2) = 2. الطرفان متساويان.

لاحظ أن النقطة (2, 3) ظاهرة داخل المعادلة نفسها. عندما ترسم المستقيم، يمكنك أن تضع قلمك على هذه النقطة أولًا ثم تكمل منها.

كيف تجد المعادلة بصيغة الميل ونقطة من نقطتين؟

احسب الميل أولًا باستخدام m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁). ثم خذ أيًّا من النقطتين وعوّضها في y − y₁ = m(x − x₁) مع ذلك الميل. لا يهم أي نقطة تختار. ستبدو المعادلتان مختلفتين، لكنهما بعد التبسيط تصفان المستقيم نفسه.

مثال

أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطتين (1, −2) و (4, 7).

1. الميل: m = (7 − (−2)) ÷ (4 − 1) = 9 ÷ 3 = 3
2. باستخدام (1, −2): y − (−2) = 3(x − 1)، أي y + 2 = 3(x − 1)
3. باستخدام (4, 7): y − 7 = 3(x − 4)

افتح الأقواس في أيٍّ منهما فتحصل على y = 3x − 5. من المفيد معرفة ذلك قبل مقارنة الواجب بنموذج الإجابة. الطالب الذي استخدم (4, 7) ونموذج الإجابة الذي استخدم (1, −2) سيُظهران معادلتين مختلفتين، ولا خطأ في أيٍّ منهما.

لماذا تغيّر النقطة السالبة الإشارات؟

الصيغة تطرح إحداثيي النقطة. فإذا كان الإحداثي سالبًا، فأنت تطرح عددًا سالبًا، وهذا يتحول إلى جمع. لذلك تعطي النقطة (−4, −1) الحدين y + 1 و x + 4. كتابة الأقواس كاملة قبل الترتيب هي أبسط طريقة لتجنب انقلاب الإشارة في الاتجاه الخطأ.

مثال

اكتب معادلة المستقيم المار بالنقطة (−4, −1) وميله 1/2.

1. مع الأقواس: y − (−1) = 1/2(x − (−4))
2. بعد الترتيب: y + 1 = 1/2(x + 4)

والأمر يعمل بالعكس أيضًا. إذا كانت المعادلة y + 5 = −2(x − 6)، فالنقطة على المستقيم هي (6, −5) وليست (6, 5). أيًّا كانت الإشارة التي تراها داخل المعادلة، فللإحداثي الإشارة المعاكسة.

كيف تحوّل صيغة الميل ونقطة إلى صيغة الميل والمقطع؟

افتح القوس، ثم انقل العدد الموجود في طرف y إلى الطرف الآخر حتى يبقى y وحده. ما تحصل عليه هو صيغة الميل والمقطع y = mx + b. لا يتغير الميل أثناء التحويل، والعدد الذي يبقى وحده في النهاية هو المقطع الصادي، أي حيث يقطع المستقيم محور y.

مثال

حوّل y − 3 = 2(x − 2).

1. افتح القوس: y − 3 = 2x − 4
2. أضف 3 إلى الطرفين: y = 2x − 1

الميل ما زال 2، والمستقيم يقطع محور y عند (0, −1). يمكنك رؤية هذه النقطة في التمثيل البياني أعلاه. والتحويل في الاتجاه الآخر سريع بالقدر نفسه. خذ y = −3x + 5، واختر x = 1، فتحصل على y = 2. النقطة (1, 2) والميل −3 يعطيان y − 2 = −3(x − 1).

أي صيغة تستخدم؟

استخدم الصيغة التي تناسب ما تعرفه مسبقًا.

• صيغة الميل ونقطة، عندما تعرف نقطة وميلًا، أو نقطتين.
• صيغة الميل والمقطع، عندما تريد قراءة الميل والمقطع الصادي مباشرة أو رسم المستقيم.
• الصورة العامة Ax + By = C، عندما تحتاج إلى نقطتي تقاطع المستقيم مع المحورين.

كثير من المعلمين يطلبون الإجابة النهائية على الصورة y = mx + b. لا شيء يمنعك من البدء بصيغة الميل ونقطة ثم التحويل في النهاية.

من أين جاءت صيغة الميل ونقطة؟

إنها صيغة الميل بعد إعادة ترتيبها. اختر نقطة ثابتة (x₁, y₁) على مستقيم، وأي نقطة أخرى (x, y) على المستقيم نفسه. الميل بينهما هو m = (y − y₁) ÷ (x − x₁). اضرب الطرفين في (x − x₁) فتحصل على y − y₁ = m(x − x₁).

مثال

لنبقَ مع المستقيم المار بالنقطة (2, 3) وميله 2، ولنختبر النقطة (5, 9). الميل من (2, 3) إلى (5, 9) هو (9 − 3) ÷ (5 − 2) = 6 ÷ 3 = 2. الميل نفسه، إذن (5, 9) تقع على المستقيم. وهذا بالضبط ما تقوله صيغة الميل ونقطة: 9 − 3 = 2(5 − 2).

الكتاب المدرسي المجاني OpenStax Elementary Algebra 2e يشتق الصيغة بالطريقة نفسها. ثم يستخدمها للمستقيمات المارة بنقطتين وللمستقيمات المتوازية والمتعامدة، ومن هنا يبدأ القسم التالي.

كيف تستخدم صيغة الميل ونقطة للمستقيمات المتوازية والمتعامدة؟

المستقيم الموازي له ميل المستقيم الأصلي نفسه. أما المستقيم العمودي فميله هو المقلوب السالب، أي تقلب الكسر وتغيّر إشارته. الميل 2 يصبح −1/2، والميل −3/4 يصبح 4/3. بعد أن تحصل على الميل الجديد، عوّضه في صيغة الميل ونقطة مع النقطة المعطاة.

مثال

أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة (2, 3) والعمودي على y = 2x − 1.

1. الميل الأصلي هو 2، أي 2/1.
2. اقلبه وغيّر إشارته: −1/2.
3. صيغة الميل ونقطة: y − 3 = −1/2(x − 2)
4. صيغة الميل والمقطع: y = −1/2x + 4

تحقق سريع عند x = 2: النتيجة −1/2 × 2 + 4 = 3، وهي قيمة y لنقطتنا. وللمستقيم الموازي المار بالنقطة (6, 0)، احتفظ بالميل 2: y − 0 = 2(x − 6)، أي y = 2x − 12.

هل يمكن كتابة كل مستقيم بصيغة الميل ونقطة؟

تقريبًا كل مستقيم. الاستثناء هو المستقيم الرأسي. كل نقاطه لها قيمة x نفسها، فيكون التغير الأفقي 0، وحساب الميل يعني القسمة على صفر. لذلك تكتب المستقيم الرأسي المار بالنقطة (3, 1) على الصورة x = 3. أما المستقيمات الأفقية فلا تسبب أي مشكلة، لأن ميلها ببساطة 0.

مثال

خذ المستقيم الأفقي المار بالنقطة (1, 4). بصيغة الميل ونقطة يصبح y − 4 = 0(x − 1). الصفر مضروبًا في أي عدد يساوي صفرًا، فتختصر المعادلة إلى y − 4 = 0، أي y = 4.

كيف تتدرب على صيغة الميل ونقطة؟

السرعة في مسائل المستقيمات تأتي من رؤية الكثير منها. في لعبة الدوال الخطية تقاتل بأسئلة عن المستقيمات. قد تسألك جولة عن الميل من (−2, 2) إلى (0, −6)، والإجابة الصحيحة تجعل هجومك يصيب. والإجابة هنا (−6 − 2) ÷ (0 − (−2)) = −8 ÷ 2 = −4.

خطوة التحويل معادلة صغيرة في كل مرة. وإن كان هذا هو الموضع الذي تتباطأ فيه، فإن بضع جولات من لعبة المعادلات تساعدك. ستستخدم الخطوات نفسها كلما أعدت ترتيب صيغة.

الحرف الذي يرمز إلى الميل يختلف أيضًا من بلد إلى آخر. في أغلب المناهج العربية يُكتب الميل بالحرف m، لكن بعض الدول تستخدم k أو a. أيًّا كان الحرف، فالعدد الموجود أمام القوس هو الميل، والأعداد داخل الأقواس تأتي من نقطة على المستقيم.

نقطة وميل يحددان المستقيم

نقطة واحدة وميل واحد يحددان المستقيم تمامًا، وصيغة الميل ونقطة تكتب ذلك مباشرة. عوّض بعناية، واحتفظ بالأقواس حتى تضبط الإشارات، واختبر النتيجة بنقطة ثانية. بعد ذلك، تكفي خطوتان قصيرتان للوصول إلى y = mx + b.