معادلة المستقيم بدلالة الميل والمقطع ص = م س + ب خطوة بخطوة

لماذا تُعد الصورة ص = م س + ب مفيدة جدًا

عندما تُكتب المعادلة بهذه الصورة، يمكنك قراءة الميل ونقطة البداية منها مباشرة ورسم المستقيم في ثوانٍ. ستجد فيما يلي كيف تقرأ هذه المعادلة، وكيف تكوّنها من نقطتين أو من صورة أخرى، وما الأخطاء التي يقع فيها معظم الطلاب.

كيف تجد معادلة المستقيم بدلالة الميل والمقطع؟

لإيجاد المعادلة على الصورة ص = م س + ب تحتاج إلى أمرين، الميل م والمقطع الصادي ب. احسب الميل من نقطتين باستخدام م = (ص₂ − ص₁) ÷ (س₂ − س₁). ثم عوّض بإحدى النقطتين وبالميل في ص = م س + ب وأوجد ب. اكتب الناتج بوضع أعدادك مكان م و ب.

مثال

أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطتين (1, 5) و(3, 9).

1. الميل: م = (9 − 5) ÷ (3 − 1) = 4 ÷ 2 = 2
2. نعوّض بالنقطة (1, 5): 5 = 2 × 1 + ب، إذن ب = 3
3. المعادلة: ص = 2س + 3
4. نتحقق بالنقطة الأخرى (3, 9): 2 × 3 + 3 = 9. المعادلة صحيحة.

يستغرق هذا التحقق الأخير عشر ثوانٍ ويكشف معظم الأخطاء، لذلك يستحق أن يصبح عادة.

ماذا لو كان الميل كسرًا؟

الكسور أمر طبيعي تمامًا هنا، وظهور كسر لا يعني أنك أخطأت. خذ النقطتين (4, 0) و(−2, 4). الميل هو (4 − 0) ÷ (−2 − 4) = 4 ÷ (−6) = −2/3. ثم من 0 = −2/3 × 4 + ب نحصل على ب = 8/3، إذن ص = −2/3 س + 8/3. للتحقق بالنقطة (−2, 4): 4/3 + 8/3 = 12/3 = 4.

اترك الميل كسرًا بدلًا من عدد عشري مقرّب، لأن الكسر دقيق وسيأتي التحقق مطابقًا تمامًا. وإذا كانت الكسور هي ما يبطئك، فإن بضع جولات في لعبة الكسور تجعل إيجاد الكسور المتكافئة واختصارها أسرع بكثير.

في الجولة أعلاه 7/10 = 70/100، لأن البسط والمقام ضُربا كلاهما في 10.

ماذا يعني م و ب في ص = م س + ب؟

في المعادلة ص = م س + ب، م هو الميل و ب هو المقطع الصادي. يخبرك الميل بمقدار تغيّر ص عندما تزيد س بمقدار 1، وكثيرًا ما يوصف بأنه التغير الرأسي مقسومًا على التغير الأفقي. أما المقطع الصادي فهو قيمة ص عندما س = 0، أي النقطة (0, ب) التي يقطع فيها المستقيم محور الصادات.

مثال

في ص = 3س − 2 الميل يساوي 3 والمقطع الصادي −2. يقطع المستقيم محور الصادات في (0, −2)، وكل خطوة بمقدار 1 إلى اليمين ترفعه 3 إلى الأعلى. وفي ص = −2س + 4 الميل −2، لذا ينزل المستقيم 2 مع كل خطوة إلى اليمين، ويقطع محور الصادات في (0, 4).

يصف كتاب OpenStax College Algebra 2e (باللغة الإنجليزية) الميل بأنه "rise over run"، أي التغير الرأسي مقسومًا على التغير الأفقي، والمقطع الصادي بأنه النقطة التي تكون عندها قيمة المدخل صفرًا. المستقيم ذو الميل الموجب يصعد من اليسار إلى اليمين، وذو الميل السالب ينزل، وكلما كبر العدد (بغض النظر عن إشارته) كان المستقيم أشد انحدارًا.

طريقة من الحياة اليومية لتخيل م و ب

شمعة طولها 20 cm وتقصر 2 cm كل ساعة. ارتفاعها بعد ن ساعة هو ع = −2ن + 20. العدد 20 هو قيمة البداية (ب)، و−2 هو مقدار التغير كل ساعة (م). بعد 3 ساعات يصبح طولها 14 cm، وبعد 10 ساعات تنتهي تمامًا. يجد كثير من الطلاب أن التفكير في ب كقيمة ابتدائية وفي م كتغير في كل خطوة أسهل.

كيف ترسم مستقيمًا معادلته ص = م س + ب؟

لرسم ص = م س + ب، ابدأ من المقطع الصادي (0, ب) على محور الصادات. ومن هناك استخدم الميل على أنه التغير الرأسي مقسومًا على التغير الأفقي. تحرك إلى اليمين بمقدار التغير الأفقي وإلى الأعلى بمقدار التغير الرأسي (أو إلى الأسفل إذا كان الميل سالبًا) لتجد نقطة ثانية. ارسم مستقيمًا يمر بالنقطتين ومدّه من الطرفين.

مثال

ارسم المستقيم ص = 2س + 1، وهو مكتوب في الرسم بالحروف اللاتينية y = 2x + 1.

1. عيّن المقطع الصادي (0, 1).
2. الميل 2 يعني 2/1، لذا تحرك 1 إلى اليمين و2 إلى الأعلى. تصل إلى النقطة (1, 3).
3. ارسم المستقيم المار بالنقطتين (0, 1) و(1, 3).

بالنسبة إلى ميل مثل −2/3، تحرك 3 إلى اليمين و2 إلى الأسفل. استخدام المقام كتغير أفقي يبقيك على نقاط الشبكة، فيسهل رسم المستقيم بدقة.

كيف تحوّل الصورة العامة لمعادلة المستقيم إلى الصورة ص = م س + ب؟

لتحويل معادلة مكتوبة بالصورة العامة، حيث حدّا س و ص في طرف والعدد في الطرف الآخر، إلى الصورة ص = م س + ب، حلّها بالنسبة إلى ص. انقل الحد الذي فيه س إلى الطرف الآخر، ثم اقسم كل الحدود على معامل ص. يصبح معامل س هو الميل، والعدد المنفرد هو المقطع الصادي.

مثال

حوّل المعادلة 2س + 3ص = 6.

1. اطرح 2س من الطرفين: 3ص = −2س + 6
2. اقسم كل الحدود على 3: ص = −2/3 س + 2

الميل −2/3 والمقطع الصادي 2. من الأخطاء الشائعة قراءة الميل 2 مباشرة من 2س + 3ص = 6. لا تدل الأعداد على الميل والمقطع إلا بعد أن تصبح ص وحدها في أحد الطرفين.

معادلة المستقيم بمعلومية الميل ونقطة أم الصورة ص = م س + ب؟

معادلة المستقيم بمعلومية الميل ونقطة، ص − ص₁ = م(س − س₁)، مفيدة عندما تعرف نقطة والميل، لأنك تستطيع كتابتها فورًا. للنقطة (1, 5) والميل 2 تحصل على ص − 5 = 2(س − 1). افتح القوسين وبسّط، ص = 2س − 2 + 5، فتعود إلى ص = 2س + 3. الصورتان تصفان المستقيم نفسه.

ما المستقيمات التي لا يمكن كتابتها على الصورة ص = م س + ب؟

المستقيمات الرأسية لا يمكن كتابتها على الصورة ص = م س + ب. كل نقاط المستقيم الرأسي لها قيمة س نفسها، فيكون التغير الأفقي 0، وحساب الميل يعني القسمة على صفر. لهذا يكون ميل المستقيم الرأسي غير معرّف. المستقيم الرأسي المار بـ س = 3 يُكتب ببساطة س = 3.

مثال

النقطتان (3, 1) و(3, 6) تقعان على مستقيم رأسي. الميل سيكون (6 − 1) ÷ (3 − 3) = 5 ÷ 0، وهذا ليس له جواب. إذن المستقيم هو س = 3. كما أن المستقيم الرأسي لا يقطع محور الصادات أبدًا إلا إذا كان هو محور الصادات نفسه، لذا لا يوجد مقطع صادي نضعه مكان ب.

أما المستقيمات الأفقية فلا مشكلة فيها. النقطتان (−1, 4) و(5, 4) تعطيان ميلًا 0 ÷ 6 = 0، إذن المستقيم ص = 0س + 4، أي ببساطة ص = 4.

ما أكثر الأخطاء شيوعًا في معادلة ص = م س + ب؟

معظم الأخطاء في هذه المعادلة هفوات صغيرة وليست سوء فهم. يبدّل الطلاب إحداثيي النقطة، أو يطرحون بترتيب مختلف في بسط صيغة الميل ومقامها، أو يقرؤون م و ب قبل أن تصبح ص وحدها. التحقق من المعادلة النهائية بإحدى النقطتين الأصليتين يكشف كل هذه الأخطاء تقريبًا.

حل سريع لكل هفوة

إليك الهفوات التي تتكرر كثيرًا، مع حل سريع لكل منها.

• الخلط بين س و ص في النقطة. (5, 7) تعني س = 5 و ص = 7. قل "أفقيًا أولًا ثم رأسيًا" وأنت تقرؤها.
• تغيير ترتيب الطرح. إذا حسبت 9 − 5 في الأعلى فاحسب 3 − 1 في الأسفل، مع وضع النقطة نفسها أولًا في المرتين.
• التبديل بين م و ب. في ص = 4 + 3س يبقى الميل 3، لأن م هو العدد المضروب في س أينما كان موضعه.
• إسقاط إشارة السالب. في ص = −س + 2 الميل −1 وليس 1.
• الظن بأن الكسر خطأ حتمًا. الميول مثل 3/4 أو −2/3 صحيحة تمامًا مثل 2.

تدرّب على ص = م س + ب حتى تصبح تلقائية

قراءة المستقيمات بسرعة تأتي من رؤية الكثير منها. في لعبة الدوال الخطية كل هجوم سؤال عن مستقيم، فتتدرب كثيرًا على اكتشاف الميل والمقطع دون أن تشعر أنك تحل واجبًا مدرسيًا.

إيجاد ب هو أيضًا مجرد معادلة صغيرة من خطوة واحدة. وإذا كانت هذه الخطوة هي ما يبطئك، فإن لعبة المعادلات تمرين إحماء جيد.

تختلف الحروف من بلد إلى آخر. في المدارس العربية نكتب ص = م س + ب، أما في الدول الناطقة بالإنجليزية فتُكتب الفكرة نفسها y = mx + b، وفي فرنسا وبولندا y = ax + b، وفي روسيا y = kx + b، وفي إيطاليا y = mx + q. ومهما كانت الحروف، فالعدد المضروب في المتغير هو دائمًا الميل، والعدد المنفرد يحدد موضع قطع المستقيم لمحور الصادات.

عددان يصفان كل مستقيم غير رأسي

كل مستقيم غير رأسي يمكن كتابته على الصورة ص = م س + ب، لذا يكفي عددان لوصفه وصفًا كاملًا. الميل يخبرك بمدى انحداره واتجاهه، والمقطع الصادي يخبرك من أين يبدأ. أوجد هذين العددين، وتحقق من معادلتك بنقطة، وسيأتي الباقي بسهولة.