الانحراف المعياري بشرح مبسط مع مثال خطوة بخطوة

كيف تحسب الانحراف المعياري خطوة بخطوة؟

لحساب الانحراف المعياري، أوجد الوسط الحسابي، واطرحه من كل قيمة، وربّع كل فرق، ثم اجمع المربعات. اقسم هذا المجموع على عدد القيم، فتحصل على التباين. وأخيرًا، خذ الجذر التربيعي للتباين. الناتج هو الانحراف المعياري، ويكون بوحدات البيانات الأصلية نفسها.

مثال

فريقان في كل منهما 8 لاعبين يجيبان عن الاختبار نفسه المكوّن من 10 أسئلة. لنأخذ الفريق B، ودرجاته هي 2، 4، 4، 4، 5، 5، 7، 9.

1. أوجد الوسط الحسابي. 2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9 = 40، و40 ÷ 8 = 5
2. اطرح الوسط من كل قيمة. ينتج −3، −1، −1، −1، 0، 0، 2، 4
3. ربّع كل فرق. ينتج 9، 1، 1، 1، 0، 0، 4، 16
4. اجمع المربعات. 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32
5. اقسم على عدد القيم. 32 ÷ 8 = 4، وهذا هو التباين
6. خذ الجذر التربيعي. √4 = 2، إذن الانحراف المعياري هو 2

الحساب نفسه، قيمة بقيمة، يسهّل المتابعة.

• 2 − 5 = −3، و(−3)² = 9
• 4 − 5 = −1، و(−1)² = 1، ثلاث مرات
• 5 − 5 = 0، و0² = 0، مرتين
• 7 − 5 = 2، و2² = 4
• 9 − 5 = 4، و4² = 16

لاحظ أن الفروق نفسها، −3، −1، −1، −1، 0، 0، 2، 4، مجموعها 0. يحدث هذا دائمًا، وهو ما يفسّر خطوة التربيع، كما يوضح القسم التالي. تحتاج الخطوة الأخيرة إلى جذر تربيعي، وبضع جولات من الجذور التربيعية تجعل تقديرها في ذهنك أسرع بكثير.

ما قانون الانحراف المعياري؟

الانحراف المعياري للمجتمع هو σ = √(Σ(x − μ)² ÷ N). هنا x هي كل قيمة، وμ هو الوسط الحسابي، وN هو عدد القيم، وΣ تعني «اجمعها كلها». أما للعينة المأخوذة من مجموعة أكبر، فاقسم على n − 1 بدلًا من N. وتُكتب هذه الصيغة s.

مثال

إذا كان الفريق B هو كل المجموعة التي تهمك، فاستخدم N. التباين هو 32 ÷ 8 = 4، وσ = √4 = 2.

إذا كان اللاعبون الثمانية عينة اختيرت لتمثل مدرسة كاملة، فاستخدم n − 1. التباين هو 32 ÷ 7 ≈ 4.57، وs = √4.57 ≈ 2.14.

لماذا نقسم على n − 1 في العينة؟

غالبًا ما تفوت العينة بعض القيم الأكثر تطرفًا في المجموعة الكاملة، لذلك يميل تشتتها إلى أن يخرج أصغر قليلًا مما ينبغي. القسمة على n − 1، وهو عدد أصغر قليلًا، تجعل الناتج أكبر قليلًا وتصحح ذلك. ومع العينات الكبيرة يصبح الفرق بين الصيغتين ضئيلًا جدًا.

كثيرًا ما توفر الآلات الحاسبة وجداول البيانات الصيغتين معًا. الزر أو الدالة المكتوب عليها σ أو «STDEV.P» تقسم على N، والمكتوب عليها s أو «STDEV.S» تقسم على n − 1. تأكد من الصيغة التي يتوقعها المعلم أو الكتاب المدرسي، لأن كلتيهما صحيحة في موقفها.

لماذا نربّع الفروق في الانحراف المعياري؟

مجموع الفروق عن الوسط الحسابي يساوي صفرًا دائمًا، لأن القيم الأعلى من الوسط توازن القيم الأدنى منه. التربيع يجعل كل فرق موجبًا، فلا تعود الفروق تلغي بعضها. ثم يعيد الجذر التربيعي في النهاية الناتج إلى الوحدات الأصلية، فيُقاس التشتت في الدرجات بالدرجات.

مثال

في الفريق B كانت الفروق −3، −1، −1، −1، 0، 0، 2، 4. مجموعها 0، لذلك متوسطها البسيط 0 أيضًا، وهذا لا يخبرنا بشيء عن التشتت. بعد التربيع تصبح 9، 1، 1، 1، 0، 0، 4، 16، ومجموعها 32.

التربيع يعطي القيم البعيدة وزنًا أكبر أيضًا. يقدم NIST Engineering Statistics Handbook توضيحًا جيدًا لذلك. النقطة التي تبعد 2 وحدة عن الوسط تضيف 4 إلى المجموع، بينما النقطة التي تبعد 10 وحدات تضيف 100. وهذا يجعل الانحراف المعياري حساسًا لقيمة متطرفة واحدة، مثل درجة 0 واحدة في مجموعة حصل باقي أفرادها على درجات جيدة.

هناك مقياس أبسط يتجاوز التربيع. الانحراف المتوسط يأخذ بُعد كل قيمة عن الوسط الحسابي، ويتجاهل إشارات السالب، ثم يحسب متوسطها. في الفريق B، مجموع المسافات 3، 1، 1، 1، 0، 0، 2، 4 هو 12، و12 ÷ 8 = 1.5. حسابه باليد أسهل، لكن الانحراف المعياري هو المقياس الذي تُبنى عليه معظم أدوات الإحصاء وقوانينه.

متى يكون الانحراف المعياري كبيرًا أو صغيرًا؟

لا يوجد رقم واحد يُعدّ حدًا للانحراف المعياري الكبير أو الصغير. الأمر يعتمد على حجم القيم وعلى ما تقيسه. انحراف معياري قدره 2 درجة كبير في اختبار من 10، لكنه ضئيل جدًا في درجات من 1000. قارنه بالوسط الحسابي وبمدى القيم الممكنة.

مثال

لنقارن الآن الفريق B بالفريق A في الاختبار نفسه.

• الفريق A: 3، 5، 5، 5، 5، 5، 5، 7
• الفريق B: 2، 4، 4، 4، 5، 5، 7، 9

لكلا الفريقين وسط حسابي قدره 5، لأن مجموع كل قائمة 40، و40 ÷ 8 = 5. لكن درجات الفريق A تتجمع حول 5، بينما تتوزع درجات الفريق B من 2 إلى 9. الانحراف المعياري للفريق A هو 1 درجة، وللفريق B هو 2 درجة.

لو نظرنا إلى الوسط وحده لبدا الفريقان متطابقين. أما الانحراف المعياري فيُظهر أن الفريق A متجانس جدًا، بينما في الفريق B لاعبون متقدمون كثيرًا وآخرون متأخرون كثيرًا.

مثال آخر

مخبزان يبيع كلاهما أرغفة متوسط وزنها 500 g. في الأول، الانحراف المعياري 5 g، لذا يقترب وزن كل رغيف تقريبًا من 500 g. وفي الثاني يبلغ 40 g، لذا تكون بعض الأرغفة أخف بوضوح وبعضها أثقل. المتوسطان متساويان، لكن المخبز الأول أكثر انتظامًا بكثير.

الانحراف المعياري الصغير ليس دائمًا أفضل. في الصف، قد يدل انحراف معياري كبير في نتائج اختبار ببساطة على أن الأطفال في مراحل مختلفة جدًا، وهذه معلومة مفيدة للمعلم. وفي المصنع، يعني الانحراف المعياري الصغير عادةً أن الآلات موثوقة. الرقم يصف التشتت، والسياق هو الذي يحدد إن كان هذا التشتت خبرًا جيدًا.

لا يمكن أن يكون الانحراف المعياري سالبًا أبدًا، لأنه ناتج عن جذر تربيعي لأعداد مربعة. ولا يساوي 0 إلا عندما تكون كل القيم متساوية.

ما معنى قاعدة 68-95-99.7؟

في البيانات التي تتبع التوزيع الطبيعي، أي المنحنى الجرسي المألوف، تقع نحو 68% من القيم ضمن انحراف معياري واحد من الوسط الحسابي. وتقع نحو 95% ضمن انحرافين معياريين، ونحو 99.7% ضمن ثلاثة. تُسمى هذه القاعدة التجريبية، وهي تحوّل الانحراف المعياري إلى صورة سريعة عن البيانات.

مثال

لنفترض أن أزمنة الجري لمسافة 1 km في مجموعة كبيرة تتبع منحنى جرسيًا بوسط حسابي قدره 6 دقائق وانحراف معياري قدره دقيقة واحدة. عندها ينهي نحو 68% من العدائين السباق بين 5 و7 دقائق. وينهيه نحو 95% بين 4 و8 دقائق، وينهيه الجميع تقريبًا بين 3 و9 دقائق.

لا تعمل القاعدة جيدًا إلا مع البيانات الجرسية الشكل. فالمجموعات الصغيرة، مثل فريقي الاختبار، نادرًا ما تتبعها بدقة. وفي البيانات غير المتماثلة، مثل الدخل أو أوقات الانتظار، قد يعطي الوسط الحسابي والانحراف المعياري صورة مضللة، وكثيرًا ما يصف الوسيط والمدى البيانات بشكل أفضل.

الوسط الحسابي هو نقطة البداية لكل انحراف معياري، لذا يفيد أن تحسب المتوسطات بسرعة. في لعبة الإحصاء، كل هجمة في النزال سؤال في الإحصاء، فيصبح إيجاد الوسط الحسابي ذهنيًا جزءًا من الفوز بالجولة. والجولات القصيرة المتكررة تبني هذه السرعة أفضل من جلسة طويلة واحدة.

الانحراف المعياري هو المسافة المعتادة عن الوسط الحسابي

يجيب الانحراف المعياري عن سؤال واحد. كم تبعد القيمة المعتادة عن المتوسط؟ استخدم هذه الخطوات كلما احتجت إلى حسابه باليد.

1. أوجد الوسط الحسابي.
2. اطرح الوسط من كل قيمة.
3. ربّع كل فرق.
4. اجمع المربعات.
5. اقسم على N لمجتمع كامل، أو على n − 1 لعينة.
6. خذ الجذر التربيعي.

الناتج الصغير يعني أن القيم متقاربة، والناتج الكبير يعني أنها متباعدة. اقرأه دائمًا إلى جانب الوسط الحسابي والوحدات، لأن التشتت لا يكون له معنى إلا في سياقه.