حجم الأسطوانة: القانون وأمثلة وطريقة التحويل إلى لترات

كيف تحسب حجم الأسطوانة؟

لحساب حجم الأسطوانة، ربّع نصف قطر القاعدة الدائرية، ثم اضربه في π التي تساوي تقريبًا 3.14، ثم اضرب الناتج في الارتفاع. هذا هو القانون V = πr²h. اكتب الإجابة بوحدات مكعبة مثل سم³ أو م³، لأن الحجم يقيس الحيّز داخل المجسم، لا الطول ولا المساحة.

مثال

أوجد حجم أسطوانة نصف قطرها 3 سم وارتفاعها 10 سم.

1. ربّع نصف القطر. 3 × 3 = 9
2. اضرب في π لتحصل على مساحة القاعدة. 9 × π ≈ 28.27 سم²
3. اضرب في الارتفاع. 9π × 10 = 90π
4. أضف الوحدة المكعبة. الحجم يساوي تقريبًا 282.74 سم³

يمكنك أيضًا أن تترك الإجابة على صورة 90π سم³. هذه الصورة الدقيقة تتجنب التقريب، وهي شائعة في الصفوف المتقدمة.

أكثر خطأ شائع هو ضرب نصف القطر في 2 بدلًا من تربيعه. إذا كان نصف القطر 3 سم، فإن 3 × 2 = 6، أما 3² = 9. وخطأ آخر هو تربيع الارتفاع أيضًا. نربّع نصف القطر فقط، لأن القاعدة وحدها هي الدائرة.

لماذا حجم الأسطوانة يساوي πr²h؟

الأسطوانة كومة من دوائر متطابقة، مثل رزمة من العملات المعدنية. مساحة كل دائرة πr²، وارتفاع الكومة h وحدة. لذلك الحجم هو مساحة القاعدة مضروبة في الارتفاع. والمنشورات تتبع القاعدة نفسها، V = مساحة القاعدة × الارتفاع.

مثال

تخيّل كومة من البسكويت الرقيق المستدير، مساحة كل قطعة منها 20 سم². إذا كان ارتفاع الكومة 5 سم، فإنها تشغل حيّزًا قدره 20 × 5 = 100 سم³. والأسطوانة التي مساحة قاعدتها 20 سم² وارتفاعها 5 سم لها الحجم نفسه.

هذه الصورة توضح أيضًا ما يحدث عندما يتغير شكل الأسطوانة. إذا ضاعفت الارتفاع، تضاعف عدد الطبقات، فيتضاعف الحجم. وإذا ضاعفت نصف القطر، تصبح كل طبقة أكبر بأربع مرات، لأن نصف القطر مربّع. لذلك يصبح الحجم أربعة أضعاف.

وللأسطوانة علاقة جميلة بمجسمين دائريين آخرين. المخروط الذي له القاعدة نفسها والارتفاع نفسه يتسع لثلث الأسطوانة تمامًا. والكرة التي تنطبق تمامًا داخل الأسطوانة تشغل ثلثيها، وتذكر بريتانيكا أن أرخميدس كان فخورًا بهذه النتيجة لدرجة أنه طلب أن تُنقش على قبره.

كيف تجد حجم الأسطوانة من القطر؟

لإيجاد الحجم من القطر، اقسم القطر على 2 لتحصل على نصف القطر، ثم استخدم V = πr²h. القطر هو المسافة المستقيمة عبر القاعدة الدائرية مرورًا بمركزها، لذلك فهو ضعف نصف القطر. وفي خطوة واحدة، يصبح القانون V = πd²h ÷ 4، وهو يعطي الإجابة نفسها تمامًا.

مثال

علبة معدنية قطرها 8 سم وارتفاعها 12 سم. اقسم القطر على 2 لتحصل على نصف قطر 4 سم. ثم 4² × π × 12 = 192π ≈ 603.19 سم³.

باستخدام قانون الخطوة الواحدة، 8² = 64، ثم 64 × π × 12 ÷ 4 = 192π ≈ 603.19 سم³. الطريقتان تعطيان النتيجة نفسها.

التعويض بالقطر مباشرة في πr²h خطأ شائع جدًا. مع العلبة السابقة، يعطي ذلك 64 × π × 12 ≈ 2,412.74 سم³، وهذا أكبر من الصحيح بأربع مرات. إذا بدت لك الإجابة كبيرة على نحو مفاجئ، فتأكد من أنك قسمت القطر على 2 أولًا.

كيف تحوّل حجم الأسطوانة إلى لترات؟

لتحويل حجم الأسطوانة إلى لترات، احسب الحجم بالسنتيمترات المكعبة ثم اقسمه على 1,000، لأن اللتر الواحد يساوي 1,000 سم³. وإذا كان الحجم بالأمتار المكعبة، فاضربه في 1,000 بدلًا من ذلك، لأن 1 م³ يتسع لـ 1,000 لتر. تأكد من أن جميع القياسات بالوحدة نفسها قبل أن تبدأ.

مثال

كوب شرب قطره 7 سم وارتفاعه 10 سم، مقيسين من الداخل.

1. أوجد نصف القطر. 7 ÷ 2 = 3.5 سم
2. أوجد الحجم. 3.5² × π × 10 ≈ 384.85 سم³
3. حوّل إلى لترات. 384.85 ÷ 1,000 ≈ 0.38 لتر، أي نحو 385 مل

ولمثال أكبر، خذ خزان ماء نصف قطره 0.5 م وارتفاعه 1.2 م. حجمه 0.5² × π × 1.2 ≈ 0.94 م³. اضرب في 1,000، فيتسع الخزان لنحو 942 لترًا.

من المشكلات المتكررة اختلاط الوحدات، مثل نصف قطر بالسنتيمترات وارتفاع بالأمتار. حوّل كل شيء إلى وحدة واحدة أولًا. يصبح الانتقال بين سم³ وم³ والمليلترات واللترات أسرع بكثير بعد بضع جولات من تحويل الوحدات.

كيف تجد ارتفاع الأسطوانة أو نصف قطرها من حجمها؟

لإيجاد الارتفاع، اقسم الحجم على مساحة القاعدة، أي h = V ÷ (πr²). ولإيجاد نصف القطر، اقسم الحجم على π مضروبة في الارتفاع، ثم خذ الجذر التربيعي، أي r = √(V ÷ (πh)). كلا القانونين هو ببساطة V = πr²h محلولًا بالعكس، خطوة بعد خطوة.

مثال

إبريق أسطواني يجب أن يتسع لـ 1 لتر، أي 1,000 سم³، ونصف قطره 5 سم. يجب أن يكون ارتفاعه 1,000 ÷ (π × 5²) = 1,000 ÷ 78.54 ≈ 12.73 سم.

والآن بالعكس. أسطوانة ارتفاعها 10 سم تتسع لـ 500 سم³. نصف قطرها √(500 ÷ (π × 10)) = √15.92 ≈ 3.99 سم.

للتحقق من أي من الإجابتين، عوّض بالأعداد مرة أخرى في V = πr²h. بالنسبة إلى الإبريق، π × 5² × 12.73 ≈ 1,000 سم³، إذن الارتفاع صحيح.

يثبت القانون في الذاكرة أكثر عندما تستخدمه كثيرًا وبأعداد مختلفة. في لعبة الهندسة، كل هجمة في النزال سؤال عن شكل هندسي، لذلك يصبح تذكّر πr²h بسرعة جزءًا من الفوز بالجولة. في اللعبة تُحسب π على أنها 3، لذلك كل إجابة عدد صحيح يمكنك حسابه في ذهنك. الجولات القصيرة المتكررة أنفع من جلسة واحدة طويلة.

كيف تجد حجم الأسطوانة المجوفة؟

الأسطوانة المجوفة، مثل الأنبوب، هي أسطوانة كبيرة أُزيلت من وسطها أسطوانة أصغر. أوجد حجم الأسطوانة الخارجية، واطرح منه حجم التجويف، فيكون الباقي هو حجم المادة. وعلى صورة قانون، V = π(R² − r²)h، حيث R نصف القطر الخارجي وr نصف القطر الداخلي.

مثال

أنبوب طوله 100 سم، نصف قطره الخارجي 5 سم ونصف قطره الداخلي 4 سم.

1. ربّع نصفي القطرين. 5² = 25 و4² = 16
2. اطرح. 25 − 16 = 9
3. اضرب في π وفي الطول. 9 × π × 100 = 900π ≈ 2,827.43 سم³

من الأخطاء الشائعة طرح نصفي القطرين قبل تربيعهما. يعطي ذلك (5 − 4)² × π × 100 = 100π ≈ 314.16 سم³، وهذا أصغر بكثير من الصحيح. ربّع كل نصف قطر أولًا، ثم اطرح.

أوجد مساحة القاعدة أولًا ثم اضرب في الارتفاع

كل سؤال عن حجم الأسطوانة يعود إلى الخطوتين نفسيهما. أوجد مساحة القاعدة الدائرية، ثم اضرب في الارتفاع. استخدم هذه القائمة لتختار نقطة البداية المناسبة.

• إذا عُلم نصف القطر r والارتفاع h: V = πr²h
• إذا عُلم القطر d: r = d ÷ 2، أو V = πd²h ÷ 4
• لإيجاد الارتفاع: h = V ÷ (πr²)
• لإيجاد نصف القطر: r = √(V ÷ (πh))
• الأسطوانة المجوفة: V = π(R² − r²)h
• اللترات: سم³ ÷ 1,000، أو م³ × 1,000

اكتب الإجابة بوحدات مكعبة، ولا تحوّل إلى لترات إلا في النهاية، بعد أن يصبح الحجم صحيحًا.