ما هي الأعداد الصحيحة؟ شرح مبسط مع أمثلة

الأعداد الصحيحة على خط الأعداد

على خط الأعداد، الأعداد الصحيحة هي النقاط المتساوية الأبعاد التي تقف عندها عندما تعدّ إلى الأمام أو إلى الخلف بدءًا من 0. أما أعداد مثل 1/2 أو 3,5 أو √2 فتقع في الفراغات بينها، لذلك ليست أعدادًا صحيحة. إليك كيف تميّز بينها، ولماذا يُعدّ الصفر عددًا صحيحًا، وكيف تعمل قواعد الإشارات في الأعداد الصحيحة فعلًا.

كيف تعرف أن العدد صحيح؟

يكون العدد صحيحًا إذا أمكنك كتابته دون كسر أو جزء عشري. وقد يكون موجبًا أو سالبًا أو صفرًا. ويلخّص كتاب OpenStax Prealgebra 2e (باللغة الإنجليزية) الأمر ببساطة، فالأعداد الصحيحة هي أعداد العد ومعكوساتها والصفر. إذن 7 و−7 و0 أعداد صحيحة، أما 7,5 فليس كذلك.

مثال

جرّب هذه الاختبارات السريعة.

• العدد −12 صحيح، لأنه معكوس عدد العد 12.
• العدد 0 صحيح.
• العدد 3,5 ليس صحيحًا، لأن له جزءًا عشريًا.
• العدد 1/2 ليس صحيحًا.
• العدد 8/2 صحيح، لأن 8/2 = 4.
• العدد √9 صحيح، لأن √9 = 3.
• العدد √2 ليس صحيحًا، لأنه يساوي 1,41 تقريبًا.

تُظهر الأمثلة الأخيرة عادة مفيدة. احسب القيمة أولًا ثم قرّر. فقد يبدو العدد كسرًا أو جذرًا ثم يتبيّن أنه عدد صحيح.

هل الصفر عدد صحيح؟

نعم، الصفر عدد صحيح. يقع في منتصف خط الأعداد، بين الأعداد الصحيحة السالبة والموجبة. والصفر ليس موجبًا ولا سالبًا، كما ينص OpenStax صراحةً. لكنه عدد زوجي، لأن 0 = 2 × 0، أي أنه يقبل القسمة على 2 دون باقٍ.

هل الأعداد السالبة أعداد صحيحة؟

تكون الأعداد السالبة صحيحة فقط إذا لم يكن لها جزء كسري أو عشري. فالعددان −5 و−100 صحيحان. أما −2,5 و−3/4 فسالبان لكنهما ليسا صحيحين. والاختبار نفسه يصلح لكل عدد مهما كانت إشارته.

ما الفرق بين الأعداد الصحيحة والأعداد الطبيعية؟

في كثير من المناهج العربية، الأعداد الطبيعية هي 0 و1 و2 و3 وهكذا، دون أعداد سالبة، وتُسمّى الأعداد 1 و2 و3 وما بعدها أعداد العد. أما الأعداد الصحيحة فتشمل كل هذه الأعداد إضافةً إلى الأعداد السالبة −1 و−2 و−3 وهكذا. لذلك −4 عدد صحيح لكنه ليس عددًا طبيعيًا. وتبدأ بعض المناهج الأعداد الطبيعية من 1 وتسمّي المجموعة 0، 1، 2، … الأعداد الكلية، لذا تحقّق من التعريف الذي تعتمده مدرسة طفلك.

مثال

إليك كيف تتداخل المجموعات الرئيسية بعضها داخل بعض.

• أعداد العد: 1، 2، 3، 4، …
• الأعداد الطبيعية (أو الأعداد الكلية في بعض المناهج): 0، 1، 2، 3، 4، …
• الأعداد الصحيحة: …، −3، −2، −1، 0، 1، 2، 3، …
• الأعداد النسبية: كل عدد يمكن كتابته على صورة كسر بسطه ومقامه عددان صحيحان، مثل 1/2 و−3/4 و7 (وهو 7/1)

يرمز الرياضيون إلى مجموعة الأعداد الصحيحة بالرمز ℤ. ويأتي هذا الحرف من الكلمة الألمانية Zahlen التي تعني "أعداد". وقد ترى أيضًا الرمز ℕ للأعداد الطبيعية. وحتى الأعداد الطبيعية يدور حولها خلاف صغير، فبعض الكتب يبدأها من 0 وبعضها من 1.

أين نرى الأعداد الصحيحة في الحياة اليومية؟

تظهر الأعداد الصحيحة كلما عددنا صعودًا ونزولًا من نقطة صفر. فدرجات الحرارة تحت الصفر، والطوابق تحت مستوى الأرض، والأعماق تحت سطح البحر، وفارق الأهداف لفريق كرة قدم، كلها أعداد صحيحة يمكن أن تكون سالبة. وفي كل حالة يكون 0 نقطة مرجعية، لا "لا شيء".

مثال

درجة الحرارة −4 °C صباحًا، وترتفع 7 درجات حتى وقت الغداء. ابدأ من −4 وعُدّ 7 خطوات صعودًا على خط الأعداد: −3، −2، −1، 0، 1، 2، 3. تصبح درجة الحرارة وقت الغداء 3 °C، أي أن −4 + 7 = 3.

في المصعد، يكون الطابق الأرضي غالبًا 0، وقد يكون موقف السيارات في الطابق −2، والطابق الخامس هو 5. والانتقال من −2 إلى 5 يعني قطع 7 طوابق، لأن 5 − (−2) = 7.

كيف نجمع الأعداد الصحيحة ونطرحها؟

لجمع الأعداد الصحيحة، تخيّل خط الأعداد. جمع عدد موجب يحرّكك إلى اليمين، وجمع عدد سالب يحرّكك إلى اليسار. والطرح عكس الجمع، لذا فطرح عدد سالب يحرّكك إلى اليمين. ولهذا يعطي طرح عدد سالب ناتجًا أكبر.

مثال

احسب −3 + 5. ابدأ من −3 وتقدّم 5 خطوات إلى اليمين. ستمر بـ −2 و−1 و0 و1، وتتوقف عند 2. إذن −3 + 5 = 2.

إليك المزيد للتجربة.

• −6 + 2 = −4، لأن خطوتين إلى اليمين من −6 توصلانك إلى −4.
• −2 − 5 = −7، لأن 5 خطوات إلى اليسار من −2 توصلك إلى −7.
• 4 − (−3) = 7، لأن طرح −3 هو نفسه جمع 3.

لماذا يجعل طرح العدد السالب الناتج أكبر؟

الطرح يعني السؤال "ما الفرق؟". والفرق بين 4 و−3 على خط الأعداد هو 7 خطوات، لذا 4 − (−3) = 7. ويكتب OpenStax القاعدة العامة هكذا: a − (−b) = a + b. يتعثّر كثير من الأطفال في −5 + 4 لأنهم يرون إشارة الجمع فيتوقعون عددًا أكبر. لكن البدء من −5 والتحرك 4 خطوات إلى اليمين يبيّن أن الناتج −1.

لماذا يكون ضرب السالب في السالب موجبًا؟

عند ضرب عددين صحيحين يكون الناتج موجبًا إذا تشابهت الإشارتان، وسالبًا إذا اختلفتا. ويكون حاصل ضرب سالب في سالب موجبًا بسبب نمط ثابت. فكلما نقص العدد الأول بمقدار 1 تغيّر الناتج بالمقدار نفسه، ولا يستمر هذا النمط إلا إذا أصبح الناتج موجبًا.

مثال

لاحظ ما يحدث لـ 3 × (−2) عندما ينقص العدد الأول بمقدار 1 في كل مرة.

• 3 × (−2) = −6
• 2 × (−2) = −4
• 1 × (−2) = −2
• 0 × (−2) = 0
• (−1) × (−2) = 2
• (−2) × (−2) = 4

كل ناتج يزيد بمقدار 2 على الناتج الذي قبله. ولكي يستمر النمط بعد الصفر، يجب أن يساوي (−1) × (−2) العدد 2. وهناك طريقة أخرى لتخيّل الأمر، فالضرب في −1 يجعلك تستدير على خط الأعداد. استدر مرتين فتعود إلى مواجهة الاتجاه نفسه.

هل تتبع قسمة الأعداد الصحيحة قاعدة الإشارات نفسها؟

نعم. (−12) ÷ 3 = −4 و(−12) ÷ (−3) = 4، بالقاعدة نفسها عن تشابه الإشارات. لكن هناك فرقًا واحدًا. فجمع عددين صحيحين أو طرحهما أو ضربهما يعطي دائمًا عددًا صحيحًا، أما القسمة فلا. فالناتج 8 ÷ 2 = 4 عدد صحيح، بينما 7 ÷ 2 = 3,5 ليس كذلك.

كيف تصبح أسرع في الحساب بالأعداد الصحيحة؟

تأتي السرعة في الأعداد الصحيحة من حلّ كثير من العمليات الصغيرة حتى يستقر خط الأعداد في ذهنك. في لعبة الأعداد السالبة، كل هجوم عملية حسابية سريعة بأعداد سالبة، فيتدرّب الأطفال على قواعد الإشارات وهم منشغلون بمحاولة الفوز في القتال.

في الجولة أعلاه، طرح −17 هو نفسه جمع 17، لذا −1 − (−17) = −1 + 17 = 16.

يُسمّى بُعد العدد عن الصفر قيمته المطلقة، فالقيمة المطلقة لـ −5 هي 5. وهي الفكرة التالية التي يتعلمها معظم المتعلمين بعد الأعداد الصحيحة، ولعبة القيمة المطلقة تحوّلها إلى سلسلة من الجولات السريعة.

الأعداد الصحيحة هي الأعداد التي تصل إليها بالعدّ إلى الأمام أو إلى الخلف

كل عدد صحيح خطوة يمكنك الوصول إليها بالعدّ من 0، إلى اليمين للأعداد الموجبة وإلى اليسار للأعداد السالبة. ويقع الصفر في المنتصف وهو أيضًا من هذه المجموعة. وإذا استطاع الطفل تخيّل خط الأعداد هذا، فإن قواعد الجمع والطرح والضرب لا تبقى قواعد للحفظ، بل تبدأ في أن تصبح مفهومة.