تدريب على الرياضيات · بحُلّة جديدة
لعبة حذف غاوس
هنا تأتي طريقة الحذف لغاوس مدخلًا واحدًا في كل مرة: العدد الذي تتركه عملية على الصفوف، أو مجهول يُقرأ من درج، أو رتبة مصفوفة كاملة. يرى خصمك المصفوفة نفسها، فكلما كان حسابك أنظف، ضرب مقاتلك أبكر.
للأعمار 4–99+ · بلا تنزيل · يعمل في متصفحك · 23 لغة
ما هي طريقة حذف غاوس؟
طريقة حذف غاوس هي أسلوب لحل نظام من المعادلات الخطية بترتيب مصفوفته، أي جدول المعاملات، صفًا بعد صف. يمكنك تبديل صفين، أو ضرب صف في عدد، أو طرح مضاعف صف من صف آخر. خطوة بعد خطوة تتجمع الأصفار تحت درج، ثم تُقرأ الحلول من الأسفل.
مثال: R₂ − 5·R₁ على [ 1 2 4 8 ; 5 4 6 7 ; 5 4 5 8 ]
- يطلب السؤال a₂₂، وهو المدخل الجديد في الصف 2 والعمود 2 بعد R₂ − 5·R₁.
- في ذلك العمود، يحمل الصف 2 العدد 4 ويحمل الصف 1 العدد 2.
- اطرح خمسة أضعاف مدخل الصف 1: 4 − 5 × 2 = 4 − 10 = −6.
- المدخل الجديد هو −6، لذا تكتبه مع إشارة السالب.
تعلّمها خطوة بخطوة
حذف غاوس يرتّب المصفوفة صفًا بعد صف. والحركة التي يستخدمها أكثر من غيرها هي: خذ صفًا واطرح منه عددًا من النسخ لصف آخر. وتُكتب R₂ − 3·R₁، ومعناها: الصف 2 الجديد = الصف 2 ناقص 3 أضعاف الصف 1.
تجري ذلك عنصرًا عنصرًا، عمودًا عمودًا. لإيجاد العنصر الجديد في الصف 2، العمود 3، خذ عنصر الصف 2 القديم في العمود 3 واطرح منه 3 أضعاف عنصر الصف 1 في العمود 3. إذا كانا 7 و4، فالعنصر الجديد 7 − 3 × 4 = 7 − 12 = −5. يُختار k بحيث يصبح أول عنصر في الصف 0 — هذا هو هدف الحركة — لكنك تحتاج فقط العنصر الواحد الذي يسمّيه السؤال.
أوجِد العنصرين في العمود المطلوب، واضرب العلوي في k، واطرح، واكتب العنصر الجديد.
نصائح وأخطاء شائعة
- اقرأ a₃₂ كمقعد في السينما: الصف أولًا ثم المقعد. الصف 3 والعمود 2، وليس العكس أبدًا.
- من الأخطاء الشائعة تغيير الصفين معًا. العملية R₂ − 5·R₁ تعيد كتابة الصف 2 فقط؛ ويبقى الصف 1 كما هو ويعير أعداده فقط.
- اكتب نظامًا صغيرًا على الورق، مثل x + y = 5 وx − y = 1، وتسابقوا على حذف x قبل إيجاد y.
طريقة اللعب
تعرض كل جولة مصفوفة وبجانبها سؤال واحد: عملية على الصفوف والمدخل الذي تغيّره، أو مجهول من نظام مثلثي، أو رتبة. اكتب العدد قبل خصمك فيسدد ثوم الضربة، وتشتد كلما كنت أسرع. والإجابة الخاطئة تصيبك بالدوار لحظة.
— إجابات سريعة —
حذف غاوس: الأسئلة الشائعة باختصار
- ما هو التعويض العكسي؟
- يحل التعويض العكسي نظامًا مثلثيًا من آخر معادلة صعودًا. يحتوي الصف السفلي على مجهول واحد، لذلك يُحل أولًا. تنتقل تلك القيمة إلى الصف الذي فوقه، فيبقى فيه مجهول واحد، وهكذا حتى القمة. إذا كان الصف الأخير 2x₄ = 10 فإن x₄ = 5، ويستخدم الصف السابق هذه الخمسة.
- كيف أجد رتبة المصفوفة؟
- لإيجاد رتبة المصفوفة، اختزلها بعمليات الصفوف حتى يظهر درج من العناصر المحورية، ثم عُدّ الصفوف التي ليست كلها أصفارًا. الصف الذي يتحول إلى أصفار كان مزيجًا من الصفوف الأخرى ولا يضيف شيئًا جديدًا. مصفوفة 3×3 صفها الثالث مجموع الصفين الأولين رتبتها 2.
- لماذا أحصل على إشارة خاطئة عند اختزال الصفوف؟
- تأتي الإشارات الخاطئة عند اختزال الصفوف غالبًا من طرح مدخل سالب. إذا كان في الصف 1 العدد −3 وكانت العملية R₂ − 2·R₁، فأنت تطرح 2 × (−3) = −6، أي تضيف 6. اكتب كل حاصل ضرب بين قوسين مع إشارته قبل الطرح، فيختفي الخطأ.
- متى يتعلم الطلاب طريقة الحذف لغاوس؟
- في كثير من الأنظمة المدرسية، تصل طريقة الحذف لغاوس مع أول مقرر جامعي في الجبر الخطي، مع أن بعض المدارس الثانوية تقدمها عبر أنظمة 3×3. هنا، صُممت مستوياتها لمن هم في عمر 18 عامًا. ويمكن لكل من يتعامل بارتياح مع الأعداد السالبة والمعادلات البسيطة أن يبدأ من المستوى الأول.
- هل لعبة اختزال الصفوف هذه مجانية، وهل يمكن لفصل أن يلعبها؟
- نعم، إنها مجانية في أي متصفح على الحاسوب أو الجهاز اللوحي أو الهاتف، دون تثبيت أي شيء. للتمرن على اختزال الصفوف، أعطِ كل فريق نظامًا 3×3 واطلب منه أن يعلن كل مدخل جديد أثناء الحذف. يشرح أول فريق يصل إلى درج نظيف خطواته لبقية الفصل. وتضيف خطة المدارس، المسعّرة لكل طالب، لوحة للمعلم تُظهر من يزداد سرعة.
المزيد من الرياضيات لإتقانها