Fi, un número con mucha fama
Los matemáticos lo escriben con la letra griega φ (fi), y tiene fama de esconderse en los girasoles, en edificios famosos y en las caras bonitas. Parte de esa fama es merecida y buena parte no lo es. Primero vamos con las matemáticas y después con la versión honesta de dónde aparece de verdad.
¿Cómo se calcula el número áureo?
El número áureo se calcula con la fórmula φ = (1 + √5) : 2. La raíz cuadrada de 5 es aproximadamente 2,236; le sumas 1, divides entre 2 y obtienes unos 1,618. Los decimales no se acaban nunca ni se repiten, porque φ es un número irracional. Para casi todos los usos cotidianos, 1,618 ya es bastante preciso.
Ejemplo
Calcúlalo con una calculadora en tres pasos.
- √5 ≈ 2,236
- 1 + 2,236 = 3,236
- 3,236 : 2 = 1,618
Por tanto, φ ≈ 1,618. Si necesitas más precisión, φ = 1,6180339887 con diez decimales.
¿De dónde sale (1 + √5) : 2?
Toma un segmento y divídelo en una parte larga a y una parte corta b. La división es áurea cuando el segmento entero es a la parte larga como la parte larga es a la corta. Con símbolos, (a + b) : a = a : b. Ese valor común es φ.
Ahora haz que la parte corta mida 1, de modo que la parte larga mide φ. La regla queda (φ + 1) : φ = φ. Multiplica los dos miembros por φ y obtienes φ² = φ + 1, es decir, φ² − φ − 1 = 0. Es una ecuación de segundo grado, y su solución positiva es (1 + √5) : 2. La Britannica (en inglés) describe la misma transformación hasta llegar a x² − x − 1 = 0.
¿Por qué 1,618, 0,618 y 2,618 se parecen tanto?
Como φ² = φ + 1, elevar φ al cuadrado solo le suma 1. Por eso φ² ≈ 2,618. Si divides la misma ecuación entre φ, obtienes φ = 1 + 1 : φ, lo que significa que 1 : φ = φ − 1 ≈ 0,618. Por eso tres números distintos comparten los mismos decimales.
¿Por qué es tan especial el número áureo?
El número áureo es especial porque es el único número positivo cuyo cuadrado es el propio número más uno, y cuyo inverso es el propio número menos uno. Además, une la geometría con el conteo. El mismo valor aparece cuando divides un segmento de forma equilibrada, cuando dibujas un pentágono regular y cuando divides números de Fibonacci consecutivos.
Ejemplo
En un pentágono regular de lado 1, cada diagonal (el segmento que une un vértice con otro no contiguo) mide exactamente φ, unos 1,618. Por eso la estrella de cinco puntas dibujada dentro de un pentágono está llena de proporciones áureas. Cada punta de la estrella queda cortada por las otras líneas en proporción áurea.
La idea es muy antigua. La Britannica la remonta a Euclides, que en sus Elementos la llamó división en «media y extrema razón».
¿El número áureo es lo mismo que pi?
No. Pi (π ≈ 3,14) es la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, mientras que el número áureo (φ ≈ 1,618) sale de dividir un segmento. Los dos son números irracionales con infinitos decimales, y seguramente por eso se confunden. Tienen valores distintos y proceden de figuras distintas.
¿El número áureo y la sucesión de Fibonacci son lo mismo?
El número áureo y la sucesión de Fibonacci no son lo mismo, pero están muy relacionados. La sucesión de Fibonacci es una lista de números naturales en la que cada número es la suma de los dos anteriores. Si divides cada número de Fibonacci entre el anterior, los resultados se acercan cada vez más al número áureo.
Ejemplo
Toma números consecutivos de la sucesión de Fibonacci y divide.
- 5 : 3 ≈ 1,667
- 8 : 5 = 1,6
- 13 : 8 = 1,625
- 21 : 13 ≈ 1,615
- 34 : 21 ≈ 1,619
- 89 : 55 ≈ 1,618
Los resultados saltan por encima y por debajo de 1,618 y se estabilizan enseguida. Con 144 : 89 el resultado ya coincide con φ en tres decimales. Es una actividad muy bonita para hacer con calculadora con niños, porque ven aparecer un patrón a partir de simples divisiones.
Encontrar la regla que hay detrás de una lista de números es una habilidad que va mucho más allá de Fibonacci. En el juego de series numéricas, cada ataque es una serie a la que le falta un número, y tienes que descubrir la regla antes que tu rival.
En la ronda de la imagen, cada número es 5 más que el anterior, así que el número que falta es 24.
¿Cómo se dibuja un rectángulo áureo?
Un rectángulo áureo tiene un lado largo que mide unas 1,618 veces el lado corto. Para dibujarlo, multiplica el lado corto por 1,618, o divide el lado largo entre 1,618 para hallar el lado corto. También puedes construirlo de forma exacta con un compás, partiendo de un cuadrado, sin medir ningún decimal.
Ejemplo
Si el lado corto mide 10 cm, el lado largo mide 10 × 1,618 ≈ 16,2 cm. Si una página tiene 1000 píxeles de ancho y quieres una división áurea, divide entre φ. Obtienes una columna principal de unos 618 píxeles y una columna lateral de unos 382 píxeles.
Para dibujarlo con compás, sigue estos pasos.
- Dibuja un cuadrado de lado 1 (por ejemplo, 1 decímetro).
- Marca el punto medio del lado de abajo.
- Pincha el compás en ese punto medio y ábrelo hasta el vértice de arriba del lado opuesto. Esa distancia es √5 : 2, unos 1,118.
- Gira el compás hasta la prolongación del lado de abajo. La nueva longitud es 0,5 + 1,118 = 1,618.
- Completa el rectángulo. Sus lados miden 1 y φ.
Si a un rectángulo áureo le quitas el cuadrado, el trozo que queda es otro rectángulo áureo. Repite el proceso, dibuja un cuarto de circunferencia en cada cuadrado y obtendrás la espiral que suele aparecer en las imágenes del número áureo. Este tipo de geometría también forma parte del juego de geometría, donde figuras, ángulos y áreas se convierten en retos rápidos.
¿Dónde aparece el número áureo en la naturaleza?
El ejemplo más claro en la naturaleza es la forma en que muchas plantas colocan sus hojas y semillas. Cada semilla nueva de un girasol crece girada más o menos lo mismo respecto a la anterior, unos 137,5°. Este ángulo áureo empaqueta las semillas sin dejar huecos y produce espirales cuyo número suele ser un número de Fibonacci.
Ejemplo
El ángulo áureo sale directamente de φ. Divide una vuelta completa entre φ² y obtienes 360° : 2,618 ≈ 137,5°. Otra forma de verlo es que el giro divide la circunferencia en dos arcos, de unos 222,5° y 137,5°, en proporción áurea.
Una revisión de 2022 de investigadores de la Universidad de Nottingham, The Golden Ratio in Nature (en inglés), reúne ejemplos a escalas muy distintas y habla de la «tendencia a aparecer en muchos campos científicos y artísticos diferentes» de esta proporción. Tendencia es la palabra justa. Muchas plantas siguen otros patrones, así que no es una ley de la naturaleza.
¿La concha del nautilo es una espiral áurea?
Normalmente no. El nautilo crece siguiendo una espiral logarítmica, que mantiene su forma a medida que se hace más grande, y eso ya es bonito por sí mismo. Las mediciones de conchas reales suelen dar una razón de crecimiento distinta de φ. Una espiral áurea dibujada sobre la foto de un nautilo es una imagen bonita, no una medición.
¿De verdad está el número áureo en el arte, los edificios y las caras?
Casi nunca. Las afirmaciones de que el Partenón, cuadros famosos o las caras atractivas siguen el número áureo no se sostienen cuando se mide con cuidado. En un artículo de 2022 en The Conversation (en inglés), el matemático Thomas Britz, de la UNSW, explica que φ aparece muy pocas veces en el arte y la arquitectura de la antigua Grecia.
Ejemplo
Lo que se suele decir del Partenón es que su fachada encaja en un rectángulo áureo. Britz escribe que los cálculos cuidadosos demuestran que es falso. Lo mismo pasa con los «tests de belleza del número áureo» que puntúan a los famosos. La máscara facial en la que se basan está desacreditada, y no hay ningún número único que decida si una cara es bonita.
Una razón habitual por la que el mito sobrevive es que solo se eligen los datos que encajan. Casi cualquier edificio o cara tiene alguna pareja de longitudes cuya razón se acerca a 1,6, sobre todo si puedes elegir dónde medir. Proporciones como 3 : 2 = 1,5 o 16 : 9 ≈ 1,78 también resultan agradables y son mucho más habituales en pantallas y fotos. Una comprobación justa analiza muchos objetos y cuenta tanto los fallos como los aciertos.
¿Los artistas y diseñadores usan el número áureo a propósito?
Algunos sí. Los diseñadores a veces usan 1,618 como punto de partida para maquetaciones, marcos o tamaños de letra, porque da una división que no es ni demasiado igualada ni demasiado descompensada. Es una decisión de diseño, no una prueba de que la proporción esté escondida en todo lo bello. Funciona igual que cualquier otra proporción armoniosa.
El número áureo es matemática de verdad, no una regla de belleza
El número áureo es un número preciso, (1 + √5) : 2 ≈ 1,618, con propiedades que hacen sonreír a los matemáticos. Elevarlo al cuadrado le suma 1, dividir 1 entre él le resta 1, y los números de Fibonacci se le acercan. Da forma a las espirales de semillas de muchas plantas, mientras que la mayoría de historias sobre caras y edificios famosos son mediciones hechas con ganas de que salga.
Una buena forma de explorarlo con un niño es hacerlo de manera práctica. Divide números de Fibonacci con la calculadora, dibuja un rectángulo áureo con compás o cuenta las espirales de una piña. Cada actividad muestra un patrón real, y ninguna necesita mitos para ser interesante.