Nola eraikitzen da Fibonacciren segida?
Fibonacciren segida eraikitzeko, idatzi 0 eta 1, batu azken bi zenbakiak hurrengoa lortzeko, eta errepikatu urrats hori behin eta berriz. Zenbaki berri bakoitza aurreko bien araberakoa baino ez da, beraz, zerrendak betiko jarrai dezake. Horrela idazten dituzun zenbakiei Fibonacciren zenbakiak deritze.
Adibidea
Eraiki segida urratsez urrats. Hasi 0 eta 1 zenbakiekin.
- 0 + 1 = 1
- 1 + 1 = 2
- 1 + 2 = 3
- 2 + 3 = 5
- 3 + 5 = 8
- 5 + 8 = 13
- 8 + 13 = 21
Zenbaki berri bakoitzak azken biak baino ez ditu behar. Horregatik, buruzko kalkulurako erronka ona da haurrentzat, zenbakiak azkar hazten direlako baina araua inoiz aldatzen ez delako. Araua haur txiki batek ulertzeko bezain erraza da, eta, hala ere, zenbaki berak agertzen dira ekiloreetan, pinaburuetan eta urrezko zenbakian.
Segida 0tik ala 1etik hasten da?
Bi bertsioak dira ohikoak. Liburu askok 0, 1, 1, 2, 3 zenbakiekin hasten dute, eta beste batzuek 1, 1, 2, 3 zenbakiekin. Ondoren datozen zenbakiak berberak dira bi kasuetan. Matematikariek araua Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂ moduan idatzi ohi dute, F₀ = 0 eta F₁ = 1 izanik, eta horrek esan nahi du «gai bakoitza aurreko bien batura da».
Segidan ezkutatutako ereduak
Segidak haurrek aurkitzea gustuko duten eredu txikiak ditu. Hiru zenbakitik bat bikoitia da (0, 2, 8, 34, 144, 610), eta gainerako guztiak bakoitiak. Bost zenbakitik bat 5ekin zatigarria da (0, 5, 55, 610). Eskatu haur bati eredu horiek zerrendan aurrerago egiaztatzeko. Batuketa praktikatzeko eta egitura antzemateko modu dibertigarria da, biak aldi berean.
Nondik dator Fibonacciren segida?
Segidak Leonardo Pisakoaren izena darama. Fibonacci izenez ezaguna zen matematikari italiar hori. Liber abaci liburuan deskribatu zuen, 1202an idatzia, untxiei buruzko buru-hausgarri baten bidez. Britannica entziklopediaren arabera, Europan ezagutzen den lehen zenbaki-segida errekurtsiboa da, hau da, gai bakoitza aurreko gaietatik eraikitzen da.
Adibidea
Untxien buru-hausgarria honela dabil. Jaio berri den untxi bikote batekin hasten zara. Bikote batek hilabete behar du heldu izateko, eta handik aurrera bikote heldu bakoitzak bikote berri bat izaten du hilabetero. Untxi bat ere ez da inoiz joaten. Zenbatu bikoteak hilabete bakoitzaren hasieran.
- Hilabete 1: bikote 1 (jaio berria)
- Hilabete 2: bikote 1 (heldua orain)
- Hilabete 3: 2 bikote (helduak eta haien lehen kumeak)
- Hilabete 4: 3 bikote
- Hilabete 5: 5 bikote
- Hilabete 6: 8 bikote
Hilabete bakoitzeko guztizkoa aurreko hilabeteko guztizkoa gehi bikote helduen kopurua da, eta helduak, hain zuzen, bi hilabete lehenagoko guztizkoa dira. Hori da Fibonacciren araua. Benetako untxiek ez dute horren ordenatuta jokatzen, noski. Buru-hausgarria eredua deskribatzeko modu bat zen, ez animaliei buruzko azterketa bat.
Nola aurkitzen da Fibonacciren segidako hurrengo zenbakia?
Hurrengo Fibonacci zenbakia aurkitzeko, batu zerrendako azken bi zenbakiak. 21 eta 34ren ondoren 21 + 34 = 55 dator, eta 34 eta 55en ondoren 89. Segidan oso aurrera dagoen zenbaki bat aurkitzeko, jarraitu zerrenda luzatzen, edo erabili Binet-en formula, edozein gai zuzenean kalkulatzen baitu urrezko zenbakiarekin.
Adibidea
Aurkitu Fibonacciren 10. zenbakia, F₀ = 0 abiapuntutzat hartuta. Zerrenda idatziz gero, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 lortzen da, beraz, F₁₀ = 55.
Binet-en formulak erantzun bera ematen du zerrendarik gabe. Igo urrezko zenbakia φ (1,618 inguru) hamargarren berreturara eta zatitu √5ez. Hori 122,99 : 2,236 ≈ 55,004 inguru da, eta zenbaki oso hurbilenera biribilduta 55 lortzen da. Ikasle nagusiagoentzat ezusteko polita da, erro karratuekin eraikitako zenbaki bat beti zenbaki oso batetik oso gertu geratzen delako.
Zenbaki-zerrenda baten atzean dagoen araua antzematea Fibonaccitik harago doan trebetasuna da. Zenbaki-segiden jokoak borroka bihurtzen du hori. Eraso bakoitza segida bat da, eta falta den zenbakia aurkitu behar duzu. «Batu azken biak» bezalako ereduak ezer idatzi gabe ikusten praktikatzeko modu azkarra da.
Zer lotura du Fibonacciren segidak urrezko zenbakiarekin?
Fibonacci zenbaki bakoitza aurrekoaz zatitzen baduzu, emaitzak gero eta gehiago hurbiltzen dira urrezko zenbakira, 1,618 ingurura. Adibidez, 8 : 5 = 1,6, 13 : 8 = 1,625 eta 89 : 55 ≈ 1,618. Urrezko zenbakia bera (1 + √5) : 2 da, hamartarrak inoiz amaitzen ez zaizkion eta errepikatzen ez diren zenbakia.
Adibidea
Begiratu nola egonkortzen diren zatidurak zenbakiak hazi ahala.
- 3 : 2 = 1,5
- 5 : 3 ≈ 1,667
- 8 : 5 = 1,6
- 13 : 8 = 1,625
- 21 : 13 ≈ 1,615
- 34 : 21 ≈ 1,619
- 55 : 34 ≈ 1,618
Emaitzak 1,618ren gainetik eta azpitik ibiltzen dira, eta aldi bakoitzean gehiago hurbiltzen dira. Britannica entziklopediak dioenez, Robert Simson matematikariak deskribatu zuen lotura hori 1753an.
Zer da Fibonacciren espirala?
Marraztu 1eko aldea duen karratu bat, gero 1eko beste karratu bat ondoan, gero 2koa, gero 3koa, gero 5ekoa eta gero 8koa, bakoitza ordura arte duzun laukizuzenaren kontra jarrita. Lotu karratu bakoitzaren aurkako izkinak zirkulu-laurden batekin, eta Fibonacciren espirala lortuko duzu. Urrezko espiralaren oso hurbilketa ona da. Urrezko espirala urrezko zenbakiaren arabera hazten da bira-laurden bakoitzean.
Non agertzen da Fibonacciren segida naturan?
Fibonacciren zenbakiak maiz agertzen dira landareetan. Ekilore baten haziek bi espiral multzo osatzen dituzte, eta norabide bakoitzeko espiral kopurua Fibonacciren ondoz ondoko bi zenbaki izan ohi da, adibidez 34 eta 55, edo 55 eta 89. Pinaburuek antzeko espiralak dituzte, eta lore askok 3, 5, 8, 13 edo 21 petalo dituzte.
Adibidea
Hartu pinaburu bat edo ekilore baten argazkia eta zenbatu erlojuaren orratzen noranzkoan biratzen duten espiralak. Ondoren, zenbatu beste noranzkoan biratzen dutenak. Surreyko Unibertsitateko Ron Knott doktorearen naturako Fibonacciri buruzko orriek noranzko batean 55 espiral eta bestean 34 dituzten ekiloreak erakusten dituzte, baita 89 eta 55 dituzten handiagoak ere.
Orri berek loreak petalo kopuruaren arabera sailkatzen dituzte, adibidez, delfinioak 8 petalorekin, senezioak eta zenbait margarita 13rekin, eta asterrak 21ekin. Elkarrekin zenbatzea esku-jarduera ederra da, eta haurrei erakusten die zenbakiek inguruko gauza errealak deskribatzen dituztela.
Zergatik hazten dira landareak Fibonacciren espiraletan?
Landare askok hazi edo hosto berri bakoitza aurrekoarekiko ia biraketa-angelu berean jartzen dute, 137,5° ingurukoan. Angelu horrek, urrezko zenbakiarekin lotuta dagoenak, haziak elkarren ondoan pilatzen ditu tarte hutsik utzi gabe, eta zenbatu ditzakezun espiralak biraketa iraunkor horren ondorio dira. Ron Knotten gidaren bigarren zatiak azaltzen du zergatik dabilen hain ondo angelu hori.
Benetan dago Fibonacciren segida natura osoan?
Ez. Fibonacciren zenbakiak ohikoak dira landareetan, baina ez dira naturaren lege bat. Ron Knotten Surreyko orriek adierazten dute ez dituzula beti Fibonacciren zenbakiak aurkituko petaloetan edo hazi-buruetan, eta lore batzuek, fuksiek adibidez, 4 petalo dituztela. Interneteko baieztapen askok, batez ere maskorrei, aurpegiei eta eraikin ospetsuei buruzkoek, gehiegi puzten dituzte frogak.
Adibidea
Nautilo maskorra askotan urrezko espiral bat gainean marraztuta erakusten da. Maskorra espiral logaritmikoan hazten da, bai, hau da, handitu ahala forma bera gordetzen duen kurba batean. Baina Knotten orriek diote haren hazkunde-faktorea aldakorra dela eta agian ez dela urrezko zenbakia, eta urrezko espirala deitzea okerra dela. Beraz, nautiloa espiral ederra da, baina ez Fibonacciren froga.
Ikasgai baliagarria da haur nagusiagoentzat ere. Maiz agertzen den eredu bat kontuan hartzea merezi du, baina galdera zintzoa beti hau da, «zenbat aldiz, eta zein zehaztasunez?». Benetako pinaburu bateko espiralak zenbatzea interneteko edozein irudi baino proba hobea da.
Hasierako bi zenbakik eta arau batek osatzen dute segida osoa
Fibonacciren zenbaki bakoitza urrats beretik dator, aurreko bi zenbakiak batzetik. Hona hemen lehen 21 gaiak, F₀ = 0tik hasita, zure zerrenda egiaztatu ahal izateko.
- 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34
- 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987
- 1597, 2584, 4181, 6765
Haur bat galtzen bada, itzuli berarekin ziur dagoen azken bi zenbakietara eta batu berriro. Araua ez da inoiz aldatzen, beraz, akats bat beti da erraz konpontzeko.
Landu hauek hurrena