Phi, un nombre à la réputation flatteuse
Les mathématiciens le notent avec la lettre grecque φ (phi), et on dit qu'il se cache dans les tournesols, dans des monuments célèbres et dans les beaux visages. Une partie de cette réputation est méritée, une bonne partie ne l'est pas. Voici d'abord les maths, puis la version honnête des endroits où il apparaît vraiment.
Comment calculer le nombre d'or ?
Le nombre d'or se calcule avec la formule φ = (1 + √5) ÷ 2. La racine carrée de 5 vaut environ 2,236 ; on ajoute 1, on divise par 2 et on obtient environ 1,618. Les décimales ne s'arrêtent jamais et ne se répètent pas, car φ est un nombre irrationnel. Pour presque tous les usages de la vie courante, 1,618 suffit largement.
Exemple
Calcule-le à la calculatrice en trois étapes.
- √5 ≈ 2,236
- 1 + 2,236 = 3,236
- 3,236 ÷ 2 = 1,618
Donc φ ≈ 1,618. Pour plus de précision, φ = 1,6180339887 à dix décimales.
D'où vient (1 + √5) ÷ 2 ?
Prends un segment et coupe-le en une grande partie a et une petite partie b. La coupe est dorée quand le segment entier est à la grande partie ce que la grande partie est à la petite. En symboles, (a + b) ÷ a = a ÷ b. Cette valeur commune, c'est φ.
Donne maintenant à la petite partie la longueur 1, la grande partie mesure alors φ. La règle devient (φ + 1) ÷ φ = φ. Multiplie les deux membres par φ et tu obtiens φ² = φ + 1, soit φ² − φ − 1 = 0. C'est une équation du second degré, et sa solution positive est (1 + √5) ÷ 2. L'Encyclopædia Britannica (en anglais) décrit la même transformation jusqu'à x² − x − 1 = 0.
Pourquoi 1,618, 0,618 et 2,618 se ressemblent-ils autant ?
Comme φ² = φ + 1, élever φ au carré revient simplement à ajouter 1. D'où φ² ≈ 2,618. Si on divise la même équation par φ, on obtient φ = 1 + 1 ÷ φ, ce qui veut dire que 1 ÷ φ = φ − 1 ≈ 0,618. Voilà pourquoi trois nombres différents ont les mêmes décimales.
Pourquoi le nombre d'or est-il si particulier ?
Le nombre d'or est particulier parce que c'est le seul nombre positif dont le carré est égal à lui-même plus un, et dont l'inverse est égal à lui-même moins un. Il relie aussi la géométrie et le calcul. La même valeur apparaît quand on coupe un segment de façon équilibrée, quand on trace un pentagone régulier et quand on divise des nombres de Fibonacci consécutifs.
Exemple
Dans un pentagone régulier de côté 1, chaque diagonale (le segment qui relie un sommet à un sommet non voisin) mesure exactement φ, soit environ 1,618. C'est pour cela que l'étoile à cinq branches tracée dans un pentagone est remplie de nombres d'or. Chaque branche de l'étoile est coupée par les autres lignes selon la proportion dorée.
L'idée est très ancienne. La Britannica la fait remonter à Euclide, qui parlait dans ses Éléments de partage en « extrême et moyenne raison ».
Le nombre d'or, est-ce la même chose que pi ?
Non. Pi (π ≈ 3,14) est le rapport entre le périmètre d'un cercle et son diamètre, alors que le nombre d'or (φ ≈ 1,618) vient du partage d'un segment. Ce sont deux nombres irrationnels aux décimales infinies, ce qui explique sans doute qu'on les confonde. Ils ont des valeurs différentes et viennent de figures différentes.
Le nombre d'or et la suite de Fibonacci, c'est pareil ?
Le nombre d'or et la suite de Fibonacci ne sont pas la même chose, mais ils sont étroitement liés. La suite de Fibonacci est une liste de nombres entiers où chaque nombre est la somme des deux précédents. Si on divise chaque nombre de Fibonacci par celui qui le précède, les résultats se rapprochent de plus en plus du nombre d'or.
Exemple
Prends des nombres consécutifs de la suite de Fibonacci et divise.
- 5 ÷ 3 ≈ 1,667
- 8 ÷ 5 = 1,6
- 13 ÷ 8 = 1,625
- 21 ÷ 13 ≈ 1,615
- 34 ÷ 21 ≈ 1,619
- 89 ÷ 55 ≈ 1,618
Les résultats passent au-dessus puis en dessous de 1,618 et se stabilisent vite. Avec 144 ÷ 89, le résultat correspond déjà à φ à trois décimales près. C'est une jolie activité à faire à la calculatrice avec des enfants, car ils voient une régularité apparaître à partir de simples divisions.
Trouver la règle derrière une liste de nombres est une compétence qui va bien au-delà de Fibonacci. Dans le jeu des suites numériques, chaque attaque est une suite à laquelle il manque un nombre, et il faut trouver la règle avant ton adversaire.
Dans la manche de l'image, chaque nombre vaut 5 de plus que le précédent, donc le nombre manquant est 24.
Comment tracer un rectangle d'or ?
Un rectangle d'or a une longueur qui vaut environ 1,618 fois sa largeur. Pour en tracer un, multiplie la largeur par 1,618, ou divise la longueur par 1,618 pour trouver la largeur. On peut aussi le construire exactement au compas, à partir d'un carré, sans mesurer la moindre décimale.
Exemple
Si la largeur mesure 10 cm, la longueur mesure 10 × 1,618 ≈ 16,2 cm. Si une page fait 1 000 pixels de large et que tu veux un partage doré, divise par φ. Tu obtiens une colonne principale d'environ 618 pixels et une colonne latérale d'environ 382 pixels.
Pour le tracer au compas, suis ces étapes.
- Trace un carré de côté 1 (par exemple 1 décimètre).
- Marque le milieu du côté du bas.
- Place la pointe du compas sur ce milieu et ouvre-le jusqu'au sommet du haut, du côté opposé. Cette distance vaut √5 ÷ 2, environ 1,118.
- Rabats le compas sur le prolongement du côté du bas. La nouvelle longueur vaut 0,5 + 1,118 = 1,618.
- Termine le rectangle. Ses côtés mesurent 1 et φ.
Si on retire le carré d'un rectangle d'or, le morceau qui reste est un autre rectangle d'or. Recommence, trace un quart de cercle dans chaque carré, et tu obtiens la spirale qu'on voit souvent sur les illustrations du nombre d'or. Ce genre de géométrie fait aussi partie du jeu de géométrie, où figures, angles et aires deviennent des défis rapides.
Où trouve-t-on le nombre d'or dans la nature ?
L'exemple le plus net dans la nature, c'est la façon dont beaucoup de plantes disposent leurs feuilles et leurs graines. Dans un cœur de tournesol, chaque nouvelle graine pousse décalée d'à peu près le même angle par rapport à la précédente, environ 137,5°. Cet angle d'or tasse les graines sans laisser de trous et forme des spirales dont le nombre est souvent un nombre de Fibonacci.
Exemple
L'angle d'or découle directement de φ. Divise un tour complet par φ² et tu obtiens 360° ÷ 2,618 ≈ 137,5°. Autre façon de le voir, cette rotation partage le cercle en deux arcs, d'environ 222,5° et 137,5°, selon la proportion dorée.
Une synthèse publiée en 2022 par des chercheurs de l'université de Nottingham, The Golden Ratio in Nature (en anglais), rassemble des exemples à des échelles très variées et évoque la « tendance à apparaître dans de nombreux domaines scientifiques et artistiques » de ce rapport. Tendance est le mot juste. Beaucoup de plantes suivent d'autres schémas, ce n'est donc pas une loi de la nature.
La coquille du nautile est-elle une spirale d'or ?
Généralement non. Le nautile grandit selon une spirale logarithmique, qui garde la même forme en s'agrandissant, ce qui est déjà très beau en soi. Les mesures de vraies coquilles donnent en général un rapport de croissance différent de φ. Une spirale d'or tracée sur la photo d'un nautile est une jolie image, pas une mesure.
Le nombre d'or est-il vraiment dans l'art, les monuments et les visages ?
Le plus souvent, non. Les affirmations selon lesquelles le Parthénon, des tableaux célèbres ou les visages séduisants suivent le nombre d'or ne résistent pas à des mesures soigneuses. Dans un article de 2022 publié par The Conversation (en anglais), le mathématicien Thomas Britz, de l'UNSW, explique que φ est très rarement présent dans l'art et l'architecture de la Grèce antique.
Exemple
On entend souvent que la façade du Parthénon s'inscrit dans un rectangle d'or. Britz écrit que des calculs précis montrent que c'est faux. Il en va de même pour les « tests du nombre d'or » qui notent le visage des célébrités. Le masque facial sur lequel ils reposent a été démenti, et aucun nombre ne décide à lui seul si un visage est beau.
Si le mythe survit, c'est souvent parce qu'on ne retient que les exemples qui collent. Presque n'importe quel bâtiment ou visage présente une paire de longueurs dont le rapport est proche de 1,6, surtout si on choisit où mesurer. Des rapports comme 3 ÷ 2 = 1,5 ou 16 ÷ 9 ≈ 1,78 sont tout aussi agréables et bien plus courants sur les écrans et les photos. Un test honnête examine beaucoup d'objets et compte les échecs autant que les réussites.
Les artistes et les designers utilisent-ils le nombre d'or exprès ?
Certains, oui. Les designers prennent parfois 1,618 comme point de départ pour une mise en page, un cadre ou des tailles de police, parce que ce rapport donne un partage ni trop égal ni trop déséquilibré. C'est un choix de design, pas la preuve que ce rapport se cache dans tout ce qui est beau. Il fonctionne comme n'importe quelle autre proportion harmonieuse.
Le nombre d'or, ce sont de vraies maths, pas une règle de beauté
Le nombre d'or est un nombre précis, (1 + √5) ÷ 2 ≈ 1,618, avec des propriétés qui font sourire les mathématiciens. L'élever au carré revient à ajouter 1, diviser 1 par lui revient à retirer 1, et les nombres de Fibonacci s'en approchent. Il façonne les spirales de graines de nombreuses plantes, tandis que la plupart des histoires sur les visages et les monuments célèbres relèvent de mesures prises avec l'envie de le trouver.
Pour l'explorer avec un enfant, le mieux est de passer par la pratique. Divisez des nombres de Fibonacci à la calculatrice, tracez un rectangle d'or au compas ou comptez les spirales d'une pomme de pin. Chaque activité montre une vraie régularité, et aucune n'a besoin de mythe pour être passionnante.