Fi, un número con moita sona
Os matemáticos escríbeno coa letra grega φ (fi), e ten sona de agocharse nos xirasoles, en edificios famosos e nas caras bonitas. Parte desa sona é merecida e boa parte non o é. Primeiro imos coas matemáticas e despois coa versión honesta de onde aparece de verdade.
Como se calcula o número áureo?
O número áureo calcúlase coa fórmula φ = (1 + √5) : 2. A raíz cadrada de 5 é aproximadamente 2,236; súmaslle 1, divides entre 2 e obtés uns 1,618. Os decimais non se acaban nunca nin se repiten, porque φ é un número irracional. Para case todos os usos cotiáns, 1,618 xa é bastante preciso.
Exemplo
Calcúlao cunha calculadora en tres pasos.
- √5 ≈ 2,236
- 1 + 2,236 = 3,236
- 3,236 : 2 = 1,618
Polo tanto, φ ≈ 1,618. Se precisas máis precisión, φ = 1,6180339887 con dez decimais.
De onde sae (1 + √5) : 2?
Colle un segmento e divídeo nunha parte longa a e unha parte curta b. A división é áurea cando o segmento enteiro é á parte longa como a parte longa é á curta. Con símbolos, (a + b) : a = a : b. Ese valor común é φ.
Agora fai que a parte curta mida 1, de xeito que a parte longa mide φ. A regra queda (φ + 1) : φ = φ. Multiplica os dous membros por φ e obtés φ² = φ + 1, é dicir, φ² − φ − 1 = 0. É unha ecuación de segundo grao, e a súa solución positiva é (1 + √5) : 2. A Britannica (en inglés) describe a mesma transformación ata chegar a x² − x − 1 = 0.
Por que 1,618, 0,618 e 2,618 se parecen tanto?
Como φ² = φ + 1, elevar φ ao cadrado só lle suma 1. Por iso φ² ≈ 2,618. Se divides a mesma ecuación entre φ, obtés φ = 1 + 1 : φ, o que significa que 1 : φ = φ − 1 ≈ 0,618. Por iso tres números distintos comparten os mesmos decimais.
Por que é tan especial o número áureo?
O número áureo é especial porque é o único número positivo cuxo cadrado é o propio número máis un, e cuxo inverso é o propio número menos un. Ademais, une a xeometría coa contaxe. O mesmo valor aparece cando divides un segmento de forma equilibrada, cando debuxas un pentágono regular e cando divides números de Fibonacci consecutivos.
Exemplo
Nun pentágono regular de lado 1, cada diagonal (o segmento que une un vértice con outro non contiguo) mide exactamente φ, uns 1,618. Por iso a estrela de cinco puntas debuxada dentro dun pentágono está chea de proporcións áureas. Cada punta da estrela queda cortada polas outras liñas en proporción áurea.
A idea é moi antiga. A Britannica remóntaa a Euclides, que nos seus Elementos lle chamou división en «media e extrema razón».
O número áureo é o mesmo ca pi?
Non. Pi (π ≈ 3,14) é a razón entre a lonxitude dunha circunferencia e o seu diámetro, mentres que o número áureo (φ ≈ 1,618) sae de dividir un segmento. Os dous son números irracionais con infinitos decimais, e seguramente por iso se confunden. Teñen valores distintos e proveñen de figuras distintas.
O número áureo e a sucesión de Fibonacci son o mesmo?
O número áureo e a sucesión de Fibonacci non son o mesmo, pero están moi relacionados. A sucesión de Fibonacci é unha lista de números naturais na que cada número é a suma dos dous anteriores. Se divides cada número de Fibonacci entre o anterior, os resultados achéganse cada vez máis ao número áureo.
Exemplo
Colle números consecutivos da sucesión de Fibonacci e divide.
- 5 : 3 ≈ 1,667
- 8 : 5 = 1,6
- 13 : 8 = 1,625
- 21 : 13 ≈ 1,615
- 34 : 21 ≈ 1,619
- 89 : 55 ≈ 1,618
Os resultados saltan por riba e por baixo de 1,618 e estabilízanse axiña. Con 144 : 89 o resultado xa coíncide con φ en tres decimais. É unha actividade moi bonita para facer con calculadora cos nenos, porque ven aparecer un patrón a partir de simples divisións.
Atopar a regra que hai detrás dunha lista de números é unha habilidade que vai moito máis alá de Fibonacci. No xogo de series numéricas, cada ataque é unha serie á que lle falta un número, e tes que descubrir a regra antes ca o teu rival.
Na rolda da imaxe, cada número é 5 máis ca o anterior, así que o número que falta é 24.
Como se debuxa un rectángulo áureo?
Un rectángulo áureo ten un lado longo que mide unhas 1,618 veces o lado curto. Para debuxalo, multiplica o lado curto por 1,618, ou divide o lado longo entre 1,618 para achar o lado curto. Tamén podes construílo de forma exacta cun compás, partindo dun cadrado, sen medir ningún decimal.
Exemplo
Se o lado curto mide 10 cm, o lado longo mide 10 × 1,618 ≈ 16,2 cm. Se unha páxina ten 1000 píxeles de largo e queres unha división áurea, divide entre φ. Obtés unha columna principal duns 618 píxeles e unha columna lateral duns 382 píxeles.
Para debuxalo con compás, segue estes pasos.
- Debuxa un cadrado de lado 1 (por exemplo, 1 decímetro).
- Marca o punto medio do lado de abaixo.
- Crava o compás nese punto medio e ábreo ata o vértice de arriba do lado oposto. Esa distancia é √5 : 2, uns 1,118.
- Xira o compás ata a prolongación do lado de abaixo. A nova lonxitude é 0,5 + 1,118 = 1,618.
- Completa o rectángulo. Os seus lados miden 1 e φ.
Se a un rectángulo áureo lle quitas o cadrado, o anaco que queda é outro rectángulo áureo. Repite o proceso, debuxa un cuarto de circunferencia en cada cadrado e obterás a espiral que adoita aparecer nas imaxes do número áureo. Este tipo de xeometría tamén forma parte do xogo de xeometría, onde figuras, ángulos e áreas se converten en retos rápidos.
Onde aparece o número áureo na natureza?
O exemplo máis claro na natureza é a forma en que moitas plantas colocan as follas e as sementes. Cada semente nova dun xirasol medra xirada máis ou menos o mesmo respecto á anterior, uns 137,5°. Este ángulo áureo empaqueta as sementes sen deixar ocos e produce espirais cuxo número adoita ser un número de Fibonacci.
Exemplo
O ángulo áureo sae directamente de φ. Divide unha volta completa entre φ² e obtés 360° : 2,618 ≈ 137,5°. Outra forma de velo é que o xiro divide a circunferencia en dous arcos, duns 222,5° e 137,5°, en proporción áurea.
Unha revisión de 2022 de investigadores da Universidade de Nottingham, The Golden Ratio in Nature (en inglés), reúne exemplos a escalas moi distintas e fala da «tendencia a aparecer en moitos campos científicos e artísticos diferentes» desta proporción. Tendencia é a palabra xusta. Moitas plantas seguen outros patróns, así que non é unha lei da natureza.
A cuncha do nautilo é unha espiral áurea?
Normalmente non. O nautilo medra seguindo unha espiral logarítmica, que mantén a forma a medida que se fai máis grande, e iso xa é bonito de seu. As medicións de cunchas reais adoitan dar unha razón de crecemento distinta de φ. Unha espiral áurea debuxada sobre a foto dun nautilo é unha imaxe bonita, non unha medición.
De verdade está o número áureo na arte, nos edificios e nas caras?
Case nunca. As afirmacións de que o Partenón, cadros famosos ou as caras atractivas seguen o número áureo non se sostiñen cando se mide con coidado. Nun artigo de 2022 en The Conversation (en inglés), o matemático Thomas Britz, da UNSW, explica que φ aparece moi poucas veces na arte e na arquitectura da antiga Grecia.
Exemplo
O que se adoita dicir do Partenón é que a súa fachada encaixa nun rectángulo áureo. Britz escribe que os cálculos coidadosos demostran que é falso. O mesmo pasa cos «tests de beleza do número áureo» que punúan os famosos. A máscara facial na que se basean está desacreditada, e non hai ningún número único que decida se unha cara é bonita.
Unha razón habitual pola que o mito sobrevive é que só se escollen os datos que encaixan. Case calquera edificio ou cara ten algunha parella de lonxitudes cuxa razón se achega a 1,6, sobre todo se podes escoller onde medir. Proporcións como 3 : 2 = 1,5 ou 16 : 9 ≈ 1,78 tamén resultan agradables e son moito máis habituais en pantallas e fotos. Unha comprobación xusta analiza moitos obxectos e conta tanto os fallos coma os acertos.
Os artistas e os deseñadores usan o número áureo a propósito?
Algúns si. Os deseñadores ás veces usan 1,618 como punto de partida para maquetacións, marcos ou tamaños de letra, porque dá unha división que non é nin demasiado igualada nin demasiado descompensada. É unha decisión de deseño, non unha proba de que a proporción estea agochada en todo o que é belo. Funciona igual ca calquera outra proporción harmoniosa.
O número áureo é matemática de verdade, non unha regra de beleza
O número áureo é un número preciso, (1 + √5) : 2 ≈ 1,618, con propiedades que fan sorrír os matemáticos. Elevalo ao cadrado súmalle 1, dividir 1 entre el réstalle 1, e os números de Fibonacci achéganse a el. Dá forma ás espirais de sementes de moitas plantas, mentres que a maioría das historias sobre caras e edificios famosos son medicións feitas con ganas de que saía.
Unha boa forma de exploralo cun neno é facelo de maneira práctica. Divide números de Fibonacci coa calculadora, debuxa un rectángulo áureo con compás ou conta as espirais dunha piña. Cada actividade mostra un patrón real, e ningunha precisa mitos para ser interesante.