Phi, un numero dalla grande fama
I matematici lo indicano con la lettera greca φ (phi), e ha la fama di nascondersi nei girasoli, negli edifici famosi e nei volti belli. Una parte di questa fama è meritata, buona parte no. Prima vediamo la matematica, poi la versione onesta di dove compare davvero.
Come si calcola il numero aureo?
Il numero aureo si calcola con la formula φ = (1 + √5) : 2. La radice quadrata di 5 è circa 2,236; aggiungi 1, dividi per 2 e ottieni circa 1,618. Le cifre decimali non finiscono mai e non si ripetono, perché φ è un numero irrazionale. Per quasi tutti gli usi di tutti i giorni, 1,618 è abbastanza preciso.
Esempio
Calcolalo con la calcolatrice in tre passaggi.
- √5 ≈ 2,236
- 1 + 2,236 = 3,236
- 3,236 : 2 = 1,618
Quindi φ ≈ 1,618. Se serve più precisione, φ = 1,6180339887 con dieci cifre decimali.
Da dove viene (1 + √5) : 2?
Prendi un segmento e dividilo in una parte lunga a e una parte corta b. La divisione è aurea quando l'intero segmento sta alla parte lunga come la parte lunga sta alla corta. In simboli, (a + b) : a = a : b. Quel valore comune è φ.
Ora fai in modo che la parte corta misuri 1, così la parte lunga misura φ. La regola diventa (φ + 1) : φ = φ. Moltiplica entrambi i membri per φ e ottieni φ² = φ + 1, cioè φ² − φ − 1 = 0. È un'equazione di secondo grado, e la sua soluzione positiva è (1 + √5) : 2. L'Encyclopædia Britannica (in inglese) descrive lo stesso passaggio fino ad arrivare a x² − x − 1 = 0.
Perché 1,618, 0,618 e 2,618 si somigliano tanto?
Poiché φ² = φ + 1, elevare φ al quadrato significa solo aggiungere 1. Per questo φ² ≈ 2,618. Se dividi la stessa equazione per φ, ottieni φ = 1 + 1 : φ, cioè 1 : φ = φ − 1 ≈ 0,618. Ecco perché tre numeri diversi hanno le stesse cifre decimali.
Perché la sezione aurea è così speciale?
La sezione aurea è speciale perché è l'unico numero positivo il cui quadrato è uguale al numero stesso più uno, e il cui reciproco è uguale al numero stesso meno uno. In più collega la geometria e il contare. Lo stesso valore compare quando dividi un segmento in modo equilibrato, quando disegni un pentagono regolare e quando dividi numeri di Fibonacci consecutivi.
Esempio
In un pentagono regolare di lato 1, ogni diagonale (il segmento che unisce un vertice a un vertice non adiacente) misura esattamente φ, circa 1,618. Per questo la stella a cinque punte disegnata dentro un pentagono è piena di rapporti aurei. Ogni punta della stella è tagliata dalle altre linee secondo la sezione aurea.
L'idea è antichissima. La Britannica la fa risalire a Euclide, che negli Elementi parlava di divisione in «media ed estrema ragione».
La sezione aurea è la stessa cosa di pi greco?
No. Pi greco (π ≈ 3,14) è il rapporto tra la lunghezza di una circonferenza e il suo diametro, mentre la sezione aurea (φ ≈ 1,618) nasce dalla divisione di un segmento. Sono entrambi numeri irrazionali con infinite cifre decimali, ed è probabilmente per questo che si confondono. Hanno valori diversi e nascono da figure diverse.
Sezione aurea e successione di Fibonacci sono la stessa cosa?
La sezione aurea e la successione di Fibonacci non sono la stessa cosa, ma sono strettamente collegate. La successione di Fibonacci è un elenco di numeri naturali in cui ogni numero è la somma dei due precedenti. Se dividi ogni numero di Fibonacci per quello che lo precede, i risultati si avvicinano sempre di più alla sezione aurea.
Esempio
Prendi numeri consecutivi della successione di Fibonacci e dividi.
- 5 : 3 ≈ 1,667
- 8 : 5 = 1,6
- 13 : 8 = 1,625
- 21 : 13 ≈ 1,615
- 34 : 21 ≈ 1,619
- 89 : 55 ≈ 1,618
I risultati saltano sopra e sotto 1,618 e si stabilizzano in fretta. Con 144 : 89 il risultato coincide già con φ fino alla terza cifra decimale. È una bella attività da fare con la calcolatrice insieme ai bambini, perché vedono comparire una regolarità da semplici divisioni.
Trovare la regola dietro una serie di numeri è un'abilità che va ben oltre Fibonacci. Nel gioco delle successioni numeriche, ogni attacco è una successione a cui manca un numero, e devi scoprire la regola prima del tuo avversario.
Nel round dell'immagine ogni numero è 5 in più del precedente, quindi il numero mancante è 24.
Come si disegna un rettangolo aureo?
Un rettangolo aureo ha il lato lungo che misura circa 1,618 volte il lato corto. Per disegnarlo, moltiplica il lato corto per 1,618, oppure dividi il lato lungo per 1,618 per trovare il lato corto. Puoi anche costruirlo in modo esatto con il compasso, partendo da un quadrato, senza misurare nessuna cifra decimale.
Esempio
Se il lato corto misura 10 cm, il lato lungo misura 10 × 1,618 ≈ 16,2 cm. Se una pagina è larga 1000 pixel e vuoi una divisione aurea, dividi per φ. Ottieni una colonna principale di circa 618 pixel e una colonna laterale di circa 382 pixel.
Per disegnarlo con il compasso, segui questi passaggi.
- Disegna un quadrato di lato 1 (per esempio 1 decimetro).
- Segna il punto medio del lato in basso.
- Punta il compasso in quel punto medio e aprilo fino al vertice in alto sul lato opposto. Questa distanza è √5 : 2, circa 1,118.
- Ruota il compasso fino al prolungamento del lato in basso. La nuova lunghezza è 0,5 + 1,118 = 1,618.
- Completa il rettangolo. I suoi lati misurano 1 e φ.
Se togli il quadrato da un rettangolo aureo, il pezzo che resta è un altro rettangolo aureo. Ripeti e disegna un quarto di circonferenza in ogni quadrato: ottieni la spirale che compare spesso nelle immagini della sezione aurea. Questo tipo di geometria fa parte anche del gioco di geometria, dove figure, angoli e aree diventano sfide veloci.
Dove si trova la sezione aurea in natura?
L'esempio più chiaro in natura è il modo in cui molte piante dispongono foglie e semi. Ogni nuovo seme di un girasole cresce ruotato più o meno dello stesso angolo rispetto al precedente, circa 137,5°. Questo angolo aureo impacchetta i semi senza lasciare spazi vuoti e forma spirali il cui numero è spesso un numero di Fibonacci.
Esempio
L'angolo aureo deriva direttamente da φ. Dividi un giro completo per φ² e ottieni 360° : 2,618 ≈ 137,5°. Un altro modo di vederlo è che la rotazione divide la circonferenza in due archi, di circa 222,5° e 137,5°, secondo la sezione aurea.
Una rassegna del 2022 di ricercatori dell'Università di Nottingham, The Golden Ratio in Nature (in inglese), raccoglie esempi a scale molto diverse e parla della «tendenza a comparire in molti campi scientifici e artistici diversi» di questo rapporto. Tendenza è la parola giusta. Molte piante seguono altri schemi, quindi non è una legge di natura.
La conchiglia del nautilo è una spirale aurea?
Di solito no. Il nautilo cresce seguendo una spirale logaritmica, che mantiene la forma mentre si ingrandisce, ed è già bellissima così. Le misure di conchiglie reali danno in genere un rapporto di crescita diverso da φ. Una spirale aurea disegnata sulla foto di un nautilo è una bella immagine, non una misura.
La sezione aurea c'è davvero nell'arte, negli edifici e nei volti?
Quasi mai. Le affermazioni secondo cui il Partenone, quadri famosi o i volti attraenti seguono la sezione aurea non reggono quando si misura con attenzione. In un articolo del 2022 su The Conversation (in inglese), il matematico Thomas Britz della UNSW spiega che φ si trova molto raramente nell'arte e nell'architettura dell'antica Grecia.
Esempio
Si dice spesso che la facciata del Partenone sia inscritta in un rettangolo aureo. Britz scrive che calcoli accurati dimostrano che è falso. Lo stesso vale per i «test della sezione aurea» che danno un voto al volto delle celebrità. La maschera facciale su cui si basano è stata smentita, e non esiste un unico numero che decida se un volto è bello.
Uno dei motivi per cui il mito sopravvive è che si scelgono solo gli esempi che tornano. Quasi ogni edificio o volto ha qualche coppia di lunghezze il cui rapporto è vicino a 1,6, soprattutto se puoi scegliere dove misurare. Rapporti come 3 : 2 = 1,5 o 16 : 9 ≈ 1,78 sono altrettanto gradevoli e molto più comuni negli schermi e nelle foto. Una verifica onesta esamina molti oggetti e conta sia i casi che non tornano sia quelli che tornano.
Artisti e designer usano la sezione aurea di proposito?
Alcuni sì. I designer a volte usano 1,618 come punto di partenza per impaginazioni, cornici o dimensioni dei caratteri, perché dà una divisione né troppo uguale né troppo sbilanciata. È una scelta di design, non la prova che il rapporto sia nascosto in tutto ciò che è bello. Funziona come qualsiasi altra proporzione armoniosa.
La sezione aurea è vera matematica, non una regola di bellezza
La sezione aurea è un numero preciso, (1 + √5) : 2 ≈ 1,618, con proprietà che fanno sorridere i matematici. Elevarla al quadrato aggiunge 1, dividere 1 per essa toglie 1, e i numeri di Fibonacci le si avvicinano. Dà forma alle spirali di semi di molte piante, mentre la maggior parte delle storie su volti ed edifici famosi sono misure prese con la voglia di trovarla.
Un buon modo per esplorarla con un bambino è farlo in modo pratico. Dividete numeri di Fibonacci con la calcolatrice, disegnate un rettangolo aureo con il compasso o contate le spirali di una pigna. Ogni attività mostra una regolarità reale, e nessuna ha bisogno di miti per essere interessante.
Allena questi adesso