شرح النسبة الذهبية مع القانون وأشهر الخرافات

فاي، العدد ذو الشهرة الواسعة

يرمز إليه علماء الرياضيات بالحرف اليوناني φ (فاي)، وقد اشتهر بأنه يختبئ في أزهار عباد الشمس والمباني الشهيرة والوجوه الجميلة. بعض هذه الشهرة مستحق، لكن كثيرًا منها ليس كذلك. سنبدأ بالرياضيات أولًا، ثم ننظر بصدق إلى الأماكن التي يظهر فيها فعلًا.

كيف تُحسب النسبة الذهبية؟

تُحسب النسبة الذهبية بالقانون φ = (1 + √5) ÷ 2. الجذر التربيعي للعدد 5 يساوي تقريبًا 2,236، فنضيف إليه 1 ونقسم على 2 لنحصل على 1,618 تقريبًا. أرقامها العشرية لا تنتهي ولا تتكرر، لأن φ عدد غير نسبي. وفي معظم الاستخدامات اليومية تكفي القيمة 1,618.

مثال

لنحسبها بالآلة الحاسبة في ثلاث خطوات.

1. √5 ≈ 2,236
2. 1 + 2,236 = 3,236
3. 3,236 ÷ 2 = 1,618

إذن φ ≈ 1,618. وإذا احتجت إلى دقة أكبر، فإن φ = 1,6180339887 لعشر منازل عشرية.

من أين يأتي (1 + √5) ÷ 2؟

خذ قطعة مستقيمة وقسّمها إلى جزء طويل a وجزء قصير b. يكون التقسيم ذهبيًا عندما تكون نسبة القطعة كلها إلى الجزء الطويل مساوية لنسبة الجزء الطويل إلى الجزء القصير. وبالرموز (a + b) ÷ a = a ÷ b. هذه القيمة المشتركة هي φ.

الآن اجعل الجزء القصير 1، فيصبح الجزء الطويل φ. تصبح القاعدة (φ + 1) ÷ φ = φ. اضرب الطرفين في φ فتحصل على φ² = φ + 1، أي φ² − φ − 1 = 0. هذه معادلة من الدرجة الثانية، وحلها الموجب هو (1 + √5) ÷ 2. وتصف موسوعة بريتانيكا إعادة الترتيب نفسها إلى الصورة x² − x − 1 = 0.

لماذا تتشابه 1,618 و0,618 و2,618 إلى هذا الحد؟

بما أن φ² = φ + 1، فإن تربيع φ لا يفعل سوى إضافة 1 إليه. إذن φ² ≈ 2,618. وإذا قسمت المعادلة نفسها على φ تحصل على φ = 1 + 1 ÷ φ، أي أن 1 ÷ φ = φ − 1 ≈ 0,618. لهذا تشترك ثلاثة أعداد مختلفة في الأرقام العشرية نفسها.

ما الذي يجعل النسبة الذهبية مميزة؟

النسبة الذهبية مميزة لأنها العدد الموجب الوحيد الذي يساوي مربعه العدد نفسه مضافًا إليه واحد، ويساوي مقلوبه العدد نفسه مطروحًا منه واحد. كما أنها تربط الهندسة بالعدّ. فالقيمة نفسها تظهر عندما تقسم قطعة مستقيمة تقسيمًا متوازنًا، وعندما ترسم خماسيًا منتظمًا، وعندما تقسم أعداد فيبوناتشي المتجاورة.

مثال

في خماسي منتظم طول ضلعه 1، يكون طول كل قطر (القطعة الواصلة بين رأس ورأس غير مجاور له) φ تمامًا، أي نحو 1,618. لهذا فإن النجمة الخماسية المرسومة داخل الخماسي مليئة بالنسب الذهبية. فكل رأس من رؤوس النجمة تقطعه الخطوط الأخرى بنسبة ذهبية.

الفكرة قديمة جدًا. تعيدها بريتانيكا إلى إقليدس، الذي سمّاها في كتابه "الأصول" "القسمة ذات الوسط والطرفين".

هل النسبة الذهبية هي نفسها العدد باي؟

لا. العدد باي (π ≈ 3,14) هو نسبة محيط الدائرة إلى قطرها، أما النسبة الذهبية (φ ≈ 1,618) فتأتي من تقسيم قطعة مستقيمة. كلاهما عدد غير نسبي بأرقام عشرية لا تنتهي، ولعل هذا سبب الخلط بينهما. لكن لكل منهما قيمة مختلفة، وكل منهما يأتي من شكل مختلف.

هل النسبة الذهبية ومتتالية فيبوناتشي شيء واحد؟

النسبة الذهبية ومتتالية فيبوناتشي ليستا شيئًا واحدًا، لكنهما مرتبطتان ارتباطًا وثيقًا. متتالية فيبوناتشي قائمة من الأعداد الصحيحة، كل عدد فيها يساوي مجموع العددين السابقين له. وإذا قسمت كل عدد من أعداد فيبوناتشي على العدد الذي قبله، فإن النتائج تقترب أكثر فأكثر من النسبة الذهبية.

مثال

خذ أعدادًا متجاورة من متتالية فيبوناتشي واقسمها.

• 5 ÷ 3 ≈ 1,667
• 8 ÷ 5 = 1,6
• 13 ÷ 8 = 1,625
• 21 ÷ 13 ≈ 1,615
• 34 ÷ 21 ≈ 1,619
• 89 ÷ 55 ≈ 1,618

تقفز النتائج فوق 1,618 وتحته ثم تستقر بسرعة. وعند 144 ÷ 89 تطابق النتيجة φ حتى ثلاث منازل عشرية. هذا نشاط جميل بالآلة الحاسبة للأطفال، لأنهم يرون نمطًا يظهر من قسمة عادية.

إيجاد القاعدة وراء قائمة من الأعداد مهارة تتجاوز فيبوناتشي بكثير. في لعبة المتتاليات العددية، كل هجوم هو متتالية ينقصها عدد، وعليك أن تكتشف القاعدة قبل خصمك.

في الجولة أعلاه، كل عدد يزيد 5 على الذي قبله، لذا فالعدد الناقص هو 24.

كيف ترسم مستطيلًا ذهبيًا؟

في المستطيل الذهبي يكون الضلع الطويل نحو 1,618 مرة قدر الضلع القصير. لرسمه، اضرب الضلع القصير في 1,618، أو اقسم الضلع الطويل على 1,618 لتجد الضلع القصير. ويمكنك أيضًا إنشاؤه بدقة بالفرجار انطلاقًا من مربع، دون قياس أي كسور عشرية.

مثال

إذا كان الضلع القصير 10 سم، فإن الضلع الطويل 10 × 1,618 ≈ 16,2 سم. وإذا كان عرض صفحة 1000 بكسل وتريد تقسيمًا ذهبيًا، فاقسم على φ. ستحصل على عمود رئيسي بعرض 618 بكسل تقريبًا وعمود جانبي بعرض 382 بكسل تقريبًا.

لرسمه بالفرجار، اتبع هذه الخطوات.

1. ارسم مربعًا طول ضلعه 1 (مثلًا 1 ديسيمتر).
2. حدّد منتصف الضلع السفلي.
3. ضع سن الفرجار على هذا المنتصف وافتحه حتى يصل إلى الرأس العلوي في الجهة المقابلة. هذه المسافة تساوي √5 ÷ 2، أي نحو 1,118.
4. أدِر الفرجار نزولًا حتى امتداد الخط السفلي. الطول الجديد هو 0,5 + 1,118 = 1,618.
5. أكمل المستطيل. ضلعاه 1 و φ.

إذا قصصت المربع من المستطيل الذهبي، فإن القطعة الباقية مستطيل ذهبي آخر. كرّر ذلك وارسم ربع دائرة في كل مربع، فتحصل على الحلزون الذي يظهر كثيرًا في صور النسبة الذهبية. وهذا النوع من الهندسة جزء أيضًا من لعبة الهندسة، حيث تتحول الأشكال والزوايا والمساحات إلى تحديات سريعة.

أين تظهر النسبة الذهبية في الطبيعة؟

أوضح مثال في الطبيعة هو طريقة ترتيب كثير من النباتات لأوراقها وبذورها. كل بذرة جديدة في قرص عباد الشمس تنمو بدوران يكاد يكون ثابتًا عن البذرة السابقة، نحو 137,5°. هذه الزاوية الذهبية ترص البذور بإحكام دون فراغات، وتنتج حلزونات كثيرًا ما تكون أعدادها من أعداد فيبوناتشي.

مثال

الزاوية الذهبية تأتي مباشرة من φ. اقسم الدورة الكاملة على φ² فتحصل على 360° ÷ 2,618 ≈ 137,5°. ويمكن النظر إليها بطريقة أخرى، فالدوران يقسم الدائرة إلى قوسين، نحو 222,5° و137,5°، بنسبة ذهبية.

جمعت مراجعة نشرها باحثون من جامعة نوتنغهام عام 2022 بعنوان The Golden Ratio in Nature أمثلة على مقاييس مختلفة كثيرة، ووصفت "ميل هذه النسبة إلى الظهور في مجالات علمية وفنية كثيرة ومتنوعة". وكلمة الميل هي الكلمة الصحيحة. فكثير من النباتات تتبع أنماطًا أخرى، ولذلك فهي ليست قانونًا من قوانين الطبيعة.

هل صدفة النوتيلوس حلزون ذهبي؟

في الغالب لا. ينمو النوتيلوس على شكل حلزون لوغاريتمي يحافظ على شكله وهو يكبر، وهذا جميل في حد ذاته. وقياسات الأصداف الحقيقية تعطي عادة نسبة نمو مختلفة عن φ. أما الحلزون الذهبي المرسوم فوق صورة نوتيلوس فهو صورة جميلة، وليس قياسًا.

هل النسبة الذهبية موجودة حقًا في الفن والمباني والوجوه؟

في الغالب لا. الادعاءات بأن البارثينون أو اللوحات الشهيرة أو الوجوه الجذابة تتبع النسبة الذهبية لا تصمد أمام القياس الدقيق. ففي مقال نُشر عام 2022 في The Conversation، يوضح عالم الرياضيات توماس بريتز من جامعة نيو ساوث ويلز أن φ نادرًا جدًا ما توجد في الفن والعمارة اليونانية القديمة.

مثال

الادعاء الشائع عن البارثينون هو أن واجهته تنطبق على مستطيل ذهبي. ويكتب بريتز أن الحسابات الدقيقة تُظهر أن هذا الادعاء خاطئ. والأمر نفسه ينطبق على "اختبارات الوجه بالنسبة الذهبية" التي تمنح المشاهير درجات. فقناع الوجه الذي تعتمد عليه ثبت بطلانه، ولا يوجد عدد واحد يقرر ما إذا كان الوجه جميلًا.

من الأسباب الشائعة لبقاء هذه الخرافة انتقاء ما يوافق الفكرة وإهمال ما يخالفها. فكل مبنى أو وجه تقريبًا فيه زوج من الأطوال نسبته قريبة من 1,6، خاصة إذا اخترت بنفسك مواضع القياس. ونسب مثل 3 ÷ 2 = 1,5 أو 16 ÷ 9 ≈ 1,78 مريحة للعين أيضًا، وهي أكثر شيوعًا بكثير في الشاشات والصور. والاختبار المنصف يفحص أشياء كثيرة ويحسب الإخفاقات كما يحسب النجاحات.

هل يستخدم الفنانون والمصممون النسبة الذهبية عن قصد؟

بعضهم يفعل. يستخدم المصممون أحيانًا 1,618 نقطة انطلاق لتخطيط الصفحات أو إطارات الصور أو أحجام الخطوط، لأنها تعطي تقسيمًا ليس متساويًا أكثر من اللازم ولا مائلًا أكثر من اللازم. هذا اختيار تصميمي، وليس دليلًا على أن النسبة مخبأة في كل شيء جميل. وهي تعمل كما تعمل أي نسبة متناسقة أخرى.

النسبة الذهبية رياضيات حقيقية وليست قاعدة للجمال

النسبة الذهبية عدد دقيق يساوي (1 + √5) ÷ 2 ≈ 1,618، وله خصائص تُسعد علماء الرياضيات. تربيعه يضيف 1، وقسمة 1 عليه تطرح 1، ونسب أعداد فيبوناتشي تقترب منه. وهي تشكّل حلزونات البذور في كثير من النباتات، بينما معظم القصص عن الوجوه والمباني الشهيرة مجرد قياسات تبحث عما تتمناه.

أفضل طريقة لاستكشافها مع طفل هي التجربة العملية. اقسم أعداد فيبوناتشي على الآلة الحاسبة، أو ارسم مستطيلًا ذهبيًا بالفرجار، أو عُدّ الحلزونات على كوز صنوبر. كل نشاط منها يكشف نمطًا حقيقيًا، ولا يحتاج أي منها إلى خرافة ليكون ممتعًا.