Fi, ospe handiko zenbakia
Matematikariek φ (fi) letra grekoarekin idazten dute, eta ekilore, eraikin ospetsu eta aurpegi ederretan ezkutatzen omen da. Ospe horren zati bat merezia da, baina beste zati handi bat ez. Lehenik matematika ikusiko dugu, eta gero benetan non agertzen den, zintzo kontatuta.
Nola kalkulatzen da urrezko zenbakia?
Urrezko zenbakia φ = (1 + √5) : 2 formularekin kalkulatzen da. 5en erro karratua 2,236 ingurukoa da; 1 gehitzen diozu, 2z zatitzen duzu eta 1,618 inguru lortzen duzu. Hamartarrak ez dira inoiz amaitzen eta ez dira errepikatzen, φ zenbaki irrazionala delako. Eguneroko erabilera gehienetarako, 1,618 nahikoa zehatza da.
Adibidea
Kalkulatu kalkulagailuarekin hiru urratsetan.
- √5 ≈ 2,236
- 1 + 2,236 = 3,236
- 3,236 : 2 = 1,618
Beraz, φ ≈ 1,618. Zehaztasun handiagoa behar baduzu, φ = 1,6180339887 da, hamar hamartarrekin.
Nondik dator (1 + √5) : 2?
Hartu zuzenki bat eta zatitu a zati luze batean eta b zati labur batean. Zatiketa urrezkoa da zuzenki osoa zati luzearekiko zati luzea laburrarekiko den bezala denean. Ikurrekin, (a + b) : a = a : b. Balio komun hori φ da.
Orain, demagun zati laburrak 1 neurtzen duela; orduan zati luzeak φ neurtzen du. Araua honela geratzen da: (φ + 1) : φ = φ. Biderkatu bi atalak φz eta φ² = φ + 1 lortzen duzu, hau da, φ² − φ − 1 = 0. Bigarren mailako ekuazio bat da, eta haren soluzio positiboa (1 + √5) : 2 da. Britannicak (ingelesez) eraldaketa bera deskribatzen du, x² − x − 1 = 0 ekuaziora iritsi arte.
Zergatik dira hain antzekoak 1,618, 0,618 eta 2,618?
φ² = φ + 1 denez, φ karratura berretzeak 1 gehitzea besterik ez dakar. Horregatik φ² ≈ 2,618. Ekuazio bera φz zatitzen baduzu, φ = 1 + 1 : φ lortzen duzu, eta horrek esan nahi du 1 : φ = φ − 1 ≈ 0,618 dela. Horregatik dituzte hiru zenbaki desberdinek hamartar berak.
Zergatik da hain berezia urrezko zenbakia?
Urrezko zenbakia berezia da, karratua zenbaki bera gehi bat duen eta alderantzizkoa zenbaki bera ken bat duen zenbaki positibo bakarra delako. Gainera, geometria eta zenbaketa lotzen ditu. Balio bera agertzen da zuzenki bat modu orekatuan zatitzean, pentagono erregular bat marraztean eta Fibonacciren ondoz ondoko zenbakiak zatitzean.
Adibidea
1 aldeko pentagono erregular batean, diagonal bakoitzak (erpin bat ondoan ez duen beste erpin batekin lotzen duen zuzenkiak) zehazki φ neurtzen du, 1,618 inguru. Horregatik dago urrezko proportzioz beteta pentagono baten barruan marraztutako bost puntako izarra. Izarraren punta bakoitza beste lerroek urrezko proportzioan mozten dute.
Ideia oso zaharra da. Britannicaren arabera Euklidesengandik dator, eta hark bere Elementuak lanean «muturreko eta erdiko arrazoian» egindako zatiketa deitu zion.
Urrezko zenbakia eta pi gauza bera al dira?
Ez. Pi (π ≈ 3,14) zirkunferentzia baten luzeraren eta haren diametroaren arteko arrazoia da, eta urrezko zenbakia (φ ≈ 1,618), berriz, zuzenki bat zatitzetik dator. Biak dira hamartar amaigabeko zenbaki irrazionalak, eta seguruenik horregatik nahasten dira. Balio desberdinak dituzte eta irudi desberdinetatik datoz.
Urrezko zenbakia eta Fibonacciren segida gauza bera al dira?
Urrezko zenbakia eta Fibonacciren segida ez dira gauza bera, baina oso lotuta daude. Fibonacciren segida zenbaki arrunten zerrenda bat da, eta bertan zenbaki bakoitza aurreko bien batura da. Fibonacciren zenbaki bakoitza aurrekoaz zatitzen baduzu, emaitzak gero eta gehiago hurbiltzen dira urrezko zenbakira.
Adibidea
Hartu Fibonacciren segidaren ondoz ondoko zenbakiak eta zatitu.
- 5 : 3 ≈ 1,667
- 8 : 5 = 1,6
- 13 : 8 = 1,625
- 21 : 13 ≈ 1,615
- 34 : 21 ≈ 1,619
- 89 : 55 ≈ 1,618
Emaitzak 1,618ren gainetik eta azpitik jauzika ibiltzen dira, eta laster egonkortzen dira. 144 : 89 egitean, emaitza φrekin bat dator dagoeneko hiru hamartarretan. Kalkulagailuarekin haurrekin egiteko jarduera polita da, zatiketa soiletatik eredu bat agertzen ikusten dutelako.
Zenbaki-zerrenda baten atzean dagoen araua aurkitzea Fibonaccitik harago doan trebetasuna da. Zenbaki-segiden jokoan, eraso bakoitza zenbaki bat falta zaion segida bat da, eta araua aurkariak baino lehen aurkitu behar duzu.
Irudiko txandan, zenbaki bakoitza aurrekoa baino 5 handiagoa da, beraz falta den zenbakia 24 da.
Nola marrazten da urrezko laukizuzen bat?
Urrezko laukizuzen batean, alde luzeak alde laburraren 1,618 aldiz inguru neurtzen du. Marrazteko, biderkatu alde laburra 1,618z, edo zatitu alde luzea 1,618z alde laburra aurkitzeko. Konpas batekin ere eraiki dezakezu modu zehatzean, karratu batetik abiatuta, hamartarrik neurtu gabe.
Adibidea
Alde laburrak 10 cm neurtzen baditu, alde luzeak 10 × 1,618 ≈ 16,2 cm neurtzen du. Orri batek 1000 pixeleko zabalera badu eta urrezko zatiketa nahi baduzu, zatitu φz. 618 pixel inguruko zutabe nagusi bat eta 382 pixel inguruko alboko zutabe bat lortzen dituzu.
Konpasarekin marrazteko, jarraitu urrats hauek.
- Marraztu 1 aldeko karratu bat (adibidez, dezimetro 1).
- Markatu beheko aldearen erdiko puntua.
- Jarri konpasaren punta erdiko puntu horretan eta ireki kontrako aldeko goiko erpineraino. Distantzia hori √5 : 2 da, 1,118 inguru.
- Biratu konpasa beheko aldearen luzapeneraino. Luzera berria 0,5 + 1,118 = 1,618 da.
- Osatu laukizuzena. Haren aldeek 1 eta φ neurtzen dute.
Urrezko laukizuzen bati karratua kentzen badiozu, geratzen den zatia beste urrezko laukizuzen bat da. Errepikatu prozesua, marraztu zirkunferentzia-laurden bat karratu bakoitzean, eta urrezko zenbakiaren irudietan maiz agertzen den espirala lortuko duzu. Geometria mota hau geometria jokoaren parte ere bada, non irudiak, angeluak eta azalerak erronka azkar bihurtzen diren.
Non agertzen da urrezko zenbakia naturan?
Naturako adibiderik argiena landare askok hostoak eta haziak kokatzeko duten modua da. Ekilore bateko hazi berri bakoitza aurrekoarekiko gutxi gorabehera bira berean hazten da, 137,5° inguru. Urrezko angelu horrek haziak hutsunerik utzi gabe pilatzen ditu, eta sortzen dituen espiralen kopurua maiz Fibonacciren zenbaki bat izaten da.
Adibidea
Urrezko angelua zuzenean φtik dator. Zatitu bira osoa φ²z eta 360° : 2,618 ≈ 137,5° lortzen duzu. Beste modu batera ikusita, birak zirkunferentzia bi arkutan zatitzen du, 222,5° eta 137,5° ingurukoak, urrezko proportzioan.
Nottinghameko Unibertsitateko ikertzaileek 2022an egindako berrikuspen batek, The Golden Ratio in Nature (ingelesez), oso eskala desberdinetako adibideak biltzen ditu, eta proportzio honen «arlo zientifiko eta artistiko askotan agertzeko joeraz» hitz egiten du. Joera da hitz egokia. Landare askok beste eredu batzuk jarraitzen dituzte, beraz ez da naturaren lege bat.
Nautiloaren maskorra urrezko espirala al da?
Normalean ez. Nautiloa espiral logaritmiko bati jarraituz hazten da, handitu ahala forma mantentzen duena, eta hori bera ederra da berez. Benetako maskorren neurketek φ ez den hazkunde-arrazoi bat ematen dute normalean. Nautilo baten argazkiaren gainean marraztutako urrezko espiral bat irudi polita da, ez neurketa bat.
Benetan al dago urrezko zenbakia artean, eraikinetan eta aurpegietan?
Ia inoiz ez. Partenoiak, margolan ospetsuek edo aurpegi erakargarriek urrezko zenbakia jarraitzen dutela dioten baieztapenak ez dira zutik mantentzen arretaz neurtzen denean. The Conversation (ingelesez) aldizkarian 2022an argitaratutako artikulu batean, Thomas Britz UNSWko matematikariak azaltzen du φ oso gutxitan agertzen dela antzinako Greziako artean eta arkitekturan.
Adibidea
Partenoiari buruz esan ohi dena da haren aurrealdea urrezko laukizuzen batean sartzen dela. Britzek idazten du kalkulu zehatzek gezurra dela erakusten dutela. Gauza bera gertatzen da ospetsuak puntuatzen dituzten «urrezko zenbakiaren edertasun-testekin». Oinarri duten aurpegi-maskara gezurtatuta dago, eta ez dago aurpegi bat ederra den ala ez erabakitzen duen zenbaki bakar bat.
Mitoak bizirik irauteko ohiko arrazoi bat da bat datozen datuak bakarrik aukeratzen direla. Ia edozein eraikinek edo aurpegik badu luzera-bikoteren bat, zeinaren arrazoia 1,6tik hurbil dagoen, batez ere non neurtu aukera badezakezu. 3 : 2 = 1,5 edo 16 : 9 ≈ 1,78 bezalako proportzioak ere atseginak dira, eta askoz ohikoagoak pantailetan eta argazkietan. Proba zuzen batek objektu asko aztertzen ditu eta asmatzeak bezala hutsegiteak ere zenbatzen ditu.
Artistek eta diseinatzaileek nahita erabiltzen al dute urrezko zenbakia?
Batzuek bai. Diseinatzaileek batzuetan 1,618 erabiltzen dute maketazioen, markoen edo letra-tamainen abiapuntu gisa, ez oso berdindua ez oso desorekatua ez den zatiketa ematen duelako. Diseinu-erabaki bat da, ez proportzioa eder den guztian ezkutatuta dagoenaren froga. Beste edozein proportzio harmoniatsuren antzera funtzionatzen du.
Urrezko zenbakia benetako matematika da, ez edertasun-arau bat
Urrezko zenbakia zenbaki zehatz bat da, (1 + √5) : 2 ≈ 1,618, matematikariei irribarrea ateratzen dieten propietateekin. Karratura berretzean 1 gehitzen zaio, 1 harekin zatitzean 1 kentzen zaio, eta Fibonacciren zenbakiak hari hurbiltzen zaizkio. Landare askoren hazi-espiralei forma ematen die, eta aurpegi eta eraikin ospetsuei buruzko istorio gehienak, berriz, emaitza jakin bat nahian egindako neurketak dira.
Haur batekin aztertzeko modu ona praktikoki egitea da. Zatitu Fibonacciren zenbakiak kalkulagailuarekin, marraztu urrezko laukizuzen bat konpasarekin edo zenbatu pinaburu baten espiralak. Jarduera bakoitzak benetako eredu bat erakusten du, eta batek ere ez du mitorik behar interesgarria izateko.